Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора

Задача разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки решается в следующем порядке:

1. Находятся последовательно .

2. Записываются (1).

3. Находим интервал сходимости ряда (1): .

4. Записываем остаточный член в каком-то виде.

5. Находим те точки , для которых .

После выполнения этих пунктов в (1) вместо можно поставить равенство .

Функция .

Пусть задана функция , она бесконечно дифференцируемая и , где .

Найдем коэффициенты разложения , тогда

-это ряд Маклорена для функции , который сходится к этой функции на всей числовой прямой.

Функция .

Найдем ее производные

Вычислим коэффициенты в формуле Тейлора:

. Пусть , тогда , если , то так как , то по теореме 2, можно утверждать, что ряд Тейлора сходится к функции .

.

Функция . Можно провести аналогично разложение, а можно разложить другим способом. Мы знаем, что степенной ряд можно дифференцировать в интервале его сходимости. Тогда .

Ряд Маклорена для функции .

Так как функция и ее производные не определены в точке , поэтому будем рассматривать функцию , которая определена , вместе с производными. Продифференцируем :

- как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (имеет сумму при ).

Проинтегрируем этот ряд почленно по любому отрезку от до , где . Получим он сходится при . Проверим сходится ли ряд на границах интервала :

при ряд вообще суммы не имеет, при получается знакочередующийся ряд по теореме Лейбница он сходится, покажем, что он сходится к , то есть . Воспользуемся теоремой (достаточным условием разложимости в ряд Тейлора). Для этого оценим остаточный член в формуле Лагранжа. при

Тогда .

Таким образом, , то есть ряд сходится при .

При ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда, так как .