Основная теорема зацепления

Вывод теоремы и ее формулировка определяют условие, которому должны отвечать боковые профили зубьев, находящихся друг с другом в зацеплении.

Рассмотрим картину касания двух боковых профилей зубьев. Пусть эти профили будут очерчены какими-то кривыми (рис. 5.6), касающимися друг друга в точке М.

Рис. 5.6. Картина зацепления двух соприкасающихся боковых профилей

Прямая n-n является общей нормалью к этим кривым. Представим вращение профилей зубьев вокруг осей О₁ и О₂ с угловыми скоростями ω₁ и ω₂. Тогда векторы окружных скоростей и точек M₁ и M₂, принадлежащих этим профилям, будут направлены перпендикулярно радиусам О₁M и O₂M, а их величины

,

.

Спроектируем эти скорости на нормаль n-n и получим векторы и .

Для соблюдения нормальной работы зацепления необходимо обеспечить равенство этих векторов:

.

В противном случае будет или «убегание» левого профиля (если ), или «набегание» правого на левый (), что в принципе невозможно.

Рассмотрим подобие треугольников:

.

Из свойства соотношения сторон составим уравнение пропорции

,

откуда

.

Из аналогичного подобия и получим

.

Так как , то

,

или

. (5.1)

.

Но , тогда , а уравнение (5.1) запишем в виде

Это и есть основная теорема зацепления: нормаль n-n к профилям, образующим высшую кинематическую пару, проведенная к точке их касания, делит межосевые расстояния на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям, с которыми эти профили вращаются.