Значения критериев для объектов и эталонов 1 страница

Объекты	Значения критериев
K 1	K 2	K 3	K 4	K 5	K 6	K 7	K 8
х 1	ОН	С	В	ОВ	В	Н	С	С
х 2	С	СВ	С	СВ	СН	ОН	В	В
х 3	ДВ	ДВ	СС	СВ	СС	СВ	СВ	ОВ
х 4	С	В	ДВ	С	Н-С	ОН	СВ	ДН
х 5	В	В	ОВ	ДВ	СС	В	ДВ	В
Эталоны	K 01	K 02	K 03	K 04	K 05	K 06	K 07	K 08
	Н	С	В	В	В	Н	Н-С	С-В
	С	В	С	С	Н	ОН В	В	Н В
	В	В	Н	В ОВ	С	ОВ	В	ОН ОВ

Примечание. ОН – очень низкое, Н – низкое, С – среднее, В – высокое, ОВ – очень высокое, ДВ – довольно высокое, СС – скорее среднее, СВ – скорее высокое, СН –скорее низкое, ДН – довольно низкое, Н-С – между низким и средним; – связка «или».

Определим нечеткую меру расстояния между объектом и эталоном на нечетких множествах и соответственно в виде

, (6.4.9)

где индекс j относится к критерию j; p – нумерует объекты, а l – эталоны; , – значения или центры областей, для которых , что зависит от вида функций принадлежности множеств и ; – значение интервала на оси абсцисс, соответствующего области пересечения множеств и ,т.е. .Введенная мера расстояния является довольно сильной, так как она равна 0 только при совпадении объекта и эталона и равна , если объект и эталон не имеют области пересечения. При соответствующей нормировке мера (6.4.9) трансформируется в функцию принадлежности . Наилучший объект, находящийся в нормальном состоянии, определяется, как наиболее близкий к эталону , с помощью индекса согласования

. (6.4.10)

Достоверность выбора определяется условием , т.е. или в более мягком варианте . Для других объектов достоверность их принадлежности к нормальной группе определяется неравенством или . Аналогично определяется принадлежность объектов к другим группам (группе риска и аномальной группе), при этом индекс (1) в заменяется соответственно на (2) или (3). Для объекта имеем

. (6.4.10а)

Мера близости объекта и эталона может быть введена через отношение согласования, определяемое операцией пересечения. Эта мера менее сильная, чем предыдущая. В этом случае индекс согласования наилучшего объекта с эталоном имеет вид

. (6.4.11)

Для других объектов их принадлежность к группе l определяется в виде

. (6.4.12)

Достоверность выбора наилучшего решения и принадлежности к группе определяется, как и выше, условием или в более мягкой форме . Второй подход является более мягким и позволяет получить решение при несовпадении объекта с эталоном, когда информация об объекте и эталоне менее точная и достоверная.

Расчеты на основе данных таблицы показывают, что наилучшим является объект х ₁; объекты х ₂, х ₄ в наибольшей степени относятся к группе риска, объект х ₅ – к аномальной группе, объект х ₃ можно отнести как к группе риска, так и к аномальной группе. Подробные расчеты не приводятся, так как они довольно громоздки, хотя и не представляют трудности. Выводы являются достоверными для х ₁, х ₂, х ₄ и х ₅, для х ₃ вывод ненадежен на выбранном уровне достоверности.

Нечеткая классификация. Задача нечеткой классификации формулируется в следующем виде. Пусть Х – множество объектов, Y – множество представительств, Z – множество классов. Нужно разбить множество Х на классы по совокупности признаков. В силу неполноты и противоречивости информации в реальных задачах множества X, Y, Z и их элементы могут быть заданы в нечеткой форме. Алгоритм решения задачи нечеткой классификации рассмотрен в [42] и излагается ниже в сокращении.

Вводится отношение согласования R ₁ множеств Х и Y с функцией принадлежности . Степень согласования Х и Y имеет вид

. (6.4.13)

(Здесь и далее знак ~ над нечеткими множествами для простоты опущен).

Вводится отношение согласования R ₂ множеств Y и Z с функцией принадлежности . Степень согласования множеств Y и Z имеет вид

. (6.4.14)

Таким образом, в этом подходе исходная информация представляется в виде матриц нечетких отношений R ₁, R ₂, которые задаются непосредственно с помощью экспертных оценок или преобразованием информации, представленной в табл. 6.

Строится отношение R ₃, являющееся суперпозицией отношений R ₁ и R ₂, с функцией принадлежности . Степень согласования Х и Z имеет вид

. (6.4.15)

Свертка F выбирается в зависимости от вида отношений R ₁, R ₂ и стратегии принятия решения. В частности, если отношения задаются операцией пересечения, то . Этот вариант означает, что степень согласования определяется максимальным значением функции принадлежности элементов, принадлежащих общей части множеств. Для непересекающихся множеств можно положить . Операция суперпозиции также определяется контекстом задачи и стратегией принятия решения. В общем случаевыбор операции суперпозиции проводится из условия максимального различения классов. Мы используем свертку, обеспечивающую наибольшую надежность результатов, вида

. (6.4.16)

Пороговая степень различения классов находится из следующих соображений. Рассматриваются попарные согласования всех классов множества, содержащих произвольный элемент , определяется максимальная степень его согласования с некоторой парой и находится ее минимум на множестве классов. В формализованной записи для пороговой степени различения имеем

, (6.4.17)

где R – отношение различения–согласования. В частности, для операции пересечения при использовании свертки и операции min для отношения R (6.4.17) преобразуется к виду

. (6.4.18)

При использовании свертки получаем

. (6.4.19)

В ряде случаев, когда информация является слабо согласованной, пороговая степень различения определяется как среднее между и :

. (6.4.20)

Класс Z_i описывается множеством

. (6.4.21)

При более жестких требованиях можно использовать строгое неравенство. Достоверность соотнесения классу проверяется сравнением с индексом нечеткости

, (6.4.22)

где − индекс нечеткости множества , определяемый в данном случае соотношением

, (6.4.23)

где − функция принадлежности элемента x соответствующему нечеткому множеству.

Так как нечеткие классы пересекаются, то некоторые элементы могут принадлежать одновременно нескольким классам. В этом случае элемент относят к тому классу, для которого выполняется условие достоверности, а при выполнении последнего для нескольких классов элемент относят к классу, принадлежность к которому максимальна.

Рассмотрим пример. Чтобы расширить область приложений, решим экономическую задачу, которая отличается от задачи диагностирования только исходными данными и интерпретацией величин. Пусть требуется определить стратегический статус ряда фирм, производящих продукцию одного типа. Известны фирмы , набор представительств и число классов . Можно было бы не приводить интерпретацию представительств и классов, но мы это сделаем для наглядности. Роль представительств выполняют допустимые наборы критериев, в частности, − инвестиции в исследования и разработки, – позиция фирмы в конкуренции, – динамика жизненного цикла продукции, – динамика технологии, – динамика конкурентоспособности, – покупательная способность потребителя, – потребности, – спрос на продукцию, – приемлемость цены, – интенсивность конкуренции, – отношение спроса к производственным мощностям, – ресурсы. Приведенные критерии характеризуют статус фирмы с позиций технологии, потребителей, конкуренции и возможностей самой фирмы. Оценки критериев являются нечеткими, т.е. представлены в виде нечетких множеств. Классы – высокий статус, – средний, – низкий. Составим матрицу отношения . Она приведена в табл. 12. Матрица может быть получена несколькими способами. В нашем случае используется следующий способ. Сначала экспертами составляется таблица нечетких оценок объектов по критериям, аналогичная табл. 11. Затем нечеткие оценки преобразуются с помощью порядковой шкалы (в задаче использована 5-ти балльная шкала), и значение оценки по шкале делится на размер шкалы, т.е. на 5. Например, значению «высокое» будет соответствовать оценка 4 и функция принадлежности 4/5=0,8 и т.п. Очевидно, что значения функции принадлежности не зависят от размера шкалы. Мы не останавливаемся детально на способах получения матриц, так как нам важно показать алгоритм расчетов. Предполагается, что исходные матрицы заданы.

Таблица 12

Матрица нечеткого отношения

	y 1	y 2	y 3	y 4	y 5	y 6	y 7	y 8	y 9	y 10	y 11	y 12
x 1	0,4	0,3	1,0	0,9	0,9	0,6	0,6	0,6	0,7	0,7	0,6	0,8
x 2	0,8	0,5	0,7	0,5	0,5	0,3	0,2	0,2	0,4	0,5	0,2	0,5
x 3	0,1	0,2	0,3	1,0	1,0	0,9	0,8	0,2	0,5	0,5	0,1	1,0
x 4	0,2	0,1	1,0	0,1	0,9	0,5	0,4	0,8	0,8	0,5	1,0	0,3
x 5	0,3	0,6	0,5	0,6	0,3	0,5	0,4	0,5	0,7	0,2	0,5	0,6

Значение функции принадлежности отношения дает оценку совместимости признака , с объектом . Матрица отношения приведена в табл. 13. Значение функции принадлежности дает оценку совместимости класса с признаком . Определим отношение , являющееся суперпозицией отношений и , используясвертку (6.4.16). Матрица отношения представлена в табл. 14.

Пороговая степень различения по (6.4.18) g = 0,8 и для распределения по классам получаем

; (6.4.24)

так как , то все выводы достоверны.

Таблица 13

Матрица нечеткого отношения

	z 1	z 2	z 3
y 1	0,2	0,6	0,8
y 2	0,5	0,5	0,5
y 3	0,9	0,1	0.3
y 4	0,4	0,7	0,6
y 5	0,1	0,3	0,4
y 6	0,2	0,4	0,5
y 7	0,3	0,5	0,4
y 8	0,4	0,1	0,2
y 9	0,5	0,7	0,8
y 10	0,6	0,8	0,9
y 11	0,5	0,5	0,5
y 12	0,7	0,9	1,0

Таблица 14

Матрица нечеткого отношения

	z 1	z 2	z 3
x 1	0,9	0,8	0,8
x 2	0,7	0,6	0,8
x 3	0,7	0,9	1,0
x 4	0,9	0,7	0,8
x 5	0,6	0,7	0,7

Учитывая максимальные функции принадлежности объектов, окончательно получаем следующие результаты . Относительно объекта можно утверждать, что его статус невысокий. Для уточнения результатов, относящихся к , используем свертку (6.3.20). Определим по (6.4.21), что дает , тогда . Отсюда получаем, что объект может быть отнесен как к классу , так и к классу . Достоверность соотнесения к классу определяется значением , а к классу значением , т.е. выше. Следовательно, следует отнести к классу с низким статусом. Неопределенность соотнесения объектов классам обусловлена противоречивостью исходной информации, представленной в виде матриц, а также довольно грубым заданием множества классов. Множество классов можно расширить, уточнив градации, например полагая – очень высокий статус, – высокий, – довольно высокий, – средний, – довольно низкий, – низкий, – очень низкий.

Нечеткая логика. При этом подходе следует задать сигнатуру (область определения аргументов) и модуль правил. Сигнатура в нашем случае состоит из нечетких операций пересечения, объединения, импликации и отрицания. Модуль правил связывает область значений или изменения критериев (признаков, факторов) с областью значений статуса объекта и может быть записан в виде

, (6.4.25)

где – значение или область изменений признака для объекта ; – область значений статуса объекта (эталона) , определяющая его принадлежность к классу ; – оператор «И» («ИЛИ»). Модуль правил играет роль общих знаний о предметной области. При поступлении фактической информации о значениях признаков, относящейся к некоторому объекту , например, в виде , вывод о принадлежности к определенному классу (классам) делается на основе правила «модус-поненс». Имеем

, (6.4.26)

где R – отношение согласования фактов с условной частью модуля правил и объекта с объектом (эталоном) . Для решения обратной задачи, т.е. тестирования классов по имеющейся информации, применяется правило «модус-толленс»

, (6.4.27)

где – отрицательное заключение о статусе объекта ; – отрицательное заключение о фактах; – отношение различения.

Для задачи диагностирования, рассмотренной выше, модуль правил имеет вид

, (6.4.28)