Методы изучения структуры систем

Топологический анализ. Для изучения структуры взаимосвязей элементов системы используется так называемый топологический анализ, или анализ связности, оперирующий понятиями комплекса, симплекса, q -связности и эксцентриситета. Этот анализ определяет структуру связей (связность) подсистем в системе.

Симплициальный комплекс – обобщение понятия планарного графа, отражающее многомерную природу рассматриваемого бинарного отношения между элементами системы. Рассмотрим систему, представленную в виде множества пар элементов, связанных некоторым отношением R. Тип отношения может быть различным: соответствие, подобие, сходство, различие и т.п., что не играет роли. Имеем

. (6.2.1)

Отношение R порождает множество многомерных связей между элементами. Анализировать можно как связи элементов множества X, так и связи элементов множества Y. Любой элемент множества X (или Y) со связями называется симплексом. Объединение симплексов образует комплекс. Обозначение симплекса или . Обозначение комплекса или . Задача изучения структуры связности комплекса K сводится к построению так называемых классов q -эквивалентности. Для каждого значения размерности q = 0, 1, …, dim K (где dim K – максимальная размерность комплекса) можно определить число различных классов эквивалентности q_q. Эта операция называется q -анализом комплекса K, а вектор – первым структурным вектором комплекса.

Симплекс называется q -мерным (q -связным), если он содержит не менее q +1 элементов, удовлетворяющих отношению R (число единиц в соответствующей симплексу строке матрицы инциденций). Если два симплекса q -связны, то, очевидно, что они также q -1, q -2, …,0-связны в комплексе K.

В качестве примера рассмотрим q -анализ системы “приборы – величины”. Пусть множество X состоит из измерительных приборов , а множество Y из измеряемых величин . Интерпретация приборов и величин в данном случае не имеет значения. Определим отношение R такое, что , если «прибором можно измерить величину ». Матрица инциденций этого отношения приведена в табл. 9. Она составлена в известной мере произвольно, но так, чтобы показать особенности анализа связности.

Результаты q-анализа имеют вид

q =5; q ₅=1, одна компонента, состоящая из симплекса { x ₄};

q =4; q ₄=1, одна компонента, состоящая из симплекса { x ₄};

q =3; q ₃=2, две компоненты, состоящие из симплексов { x ₄}, { x ₁₅};

q =2; q ₂=3, три компоненты, состоящие из симплексов { x ₄}, { x ₁₅}, { x ₁};

q =1; q ₁=2, две компоненты { x ₁, x ₄, x ₉, x ₁₂, x ₁₄, x ₁₅}, { x ₅};

q =0; q ₀=1, одна компонента {все x, за исключением x ₇, x ₁₀}.

Здесь q – степень (уровень) связности; q_q – число компонентов связности q; {×} – множество симплексов, имеющих связность q. Как видно из результатов анализа, с уменьшением степени связности некоторые симплексы объединяются в один компонент. Для объединения двух симплексов необходимо, чтобы для степени связности q они имели не менее q +1 общих связей (число единиц в одних и тех же столбцах матрицы инциденций).

Таблица 9