Обратные тригонометрические функции

Арксинусом числа а (arcsin a) называется угол из промежутка [-π/2; π/2 ], синус которого равен а.

arcsin(- a)=- arcsin a.

Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка [0; π], косинус которого равен а.

arccos (-a)=π – arccosa.

Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (-π/2; π/2), тангенс которого равен а.

arctg(- a)=- arctg a.

Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.

arcctg (-a)=π – arcctg a.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Общие формулы.

1) sin t=a, 0<a<1, тогда t=(-1)ⁿ ·arcsin a + πn, nϵZ;

2) sin t = — a, 0<a<1, тогда t=(-1)ⁿ⁺¹·arcsin a +πn, nϵZ;

3) cos t=a, 0<a<1, тогда t=±arccos a +2πn, nϵZ;

4) cos t =-a, 0<a<1, тогда t=±(π-arccos a)+2πn, nϵZ;

5) tg t =a, a>0, тогда t=arctg a + πn, nϵZ;

6) tg t =-a, a>0, тогда t= — arctg a + πn, nϵZ;

7) ctg t=a, a>0, тогда t=arcctg a + πn, nϵZ;

8) ctg t= -a, a>0, тогда t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

Частные формулы.

1) sin t =0, тогда t=πn, nϵZ;

2) sin t=1, тогда t= π/2 +2πn, nϵZ;

3) sin t= -1, тогда t= — π/2 +2πn, nϵZ;

4) cos t=0, тогда t= π/2+ πn, nϵZ;

5) cos t=1, тогда t=2πn, nϵZ;

6) cos t=1, тогда t=π +2πn, nϵZ;

7) tg t =0, тогда t = πn, nϵZ;

8) ctg t=0, тогда t = π/2+πn, nϵZ.

Решение простейших тригонометрических неравенств.

1) sint<a (|a|<1), -π-arcsina+2πn<t<arcsina+2πn, nєZ.

2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn<t<π-arcsina+2πn, nєZ.

3) cost<a (|a|<1), arccosa+2πn<t<2π-arccosa+2πn, nєZ.

4) cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn<t<arccosa+2πn, nєZ.

5) tgt<a, -π/2+πn<t<arctga+πn, nєZ.

6) tgt>a, arctga+πn<t<π/2+πn, nєZ.

7) ctgt<a, arcctga+πn<t<π+πn, nєZ.

8) ctgt>a, πn<t<arcctga+πn, nєZ.