Алгоритм построения областей устойчивости ЛА

Замкнутая система уравнений возмущённого движения по каналу тангажа имеет вид:

(1)

Входящие в уравнения системы (1) коэффициенты усиления АС k₁, …, k₄ должны обеспечивать устойчивость движения и выбираются из областей устойчивости. Коэффициенты k₃, k₄ полагаем равными нулю. Область устойчивости строится в плоскости двух параметров k₁, k₂ при фиксированных значениях всех прочих параметров. Плоскость исследуемых параметров подвергается D-разбиению путём построения линии, разделяющей области с определённым распределением корней характеристического многочлена замкнутой системы (с одним и тем же числом корней с отрицательными вещественными частями). Предполагается, что устойчивость обеспечивается в «локальном» смысле, используется метод «замороженных» коэффициентов и анализируется система уравнений возмущенного движения:

(2)

В системе (2) динамические коэффициенты подсчитываются по следующим формулам:

Коэффициенты, характеризующие эффективность средств управления, определяются по следующим формулам:

· при использовании газоструйных рулей

где

- скорость истечения газов;

- плотность истекающих газов;

· при использовании поворотного маршевого двигателя

где - расстояние от точки приложения управляющих сил до центра масс ЛА;

· при использовании поворотных управляющих двигателей

· в случае рассогласования тяги связки маршевых двигателей

При управлении рассогласованием тяги под понимается степень дросселирования или форсирования тяги:

Масса ЛА в исследуемый момент времени определяется по формулам:

или

где - масса ЛА в момент старта;

- секундные массовые расходы окислителя и горючего;

- масса ЛА в конце активного участка полёта (масса конструкции ЛА);

- масса окислителя и горючего в момент времени .

При масса топлива, окислителя и горючего определяется по формулам:

или

или

где - заданный коэффициент соотношения компонентов топлива.

Секундные массовые расходы окислителя и горючего

где - продолжительность активного участка полёта.

При масса окислителя и горючего м. б. определена по формулам:

Входящие в выражения для динамических коэффициентов геометрические параметры ЛА, которые задаются для момента времени в исходных данных относительно торцевого шпангоута (рисунок 1), пересчитываются относительно центра масс.

Длина баков окислителя и горючего

Уровень окислителя и горючего в момент времени :

Координата центра масс окислителя и горючего от торцевого шпангоута в момент времени :

где , - координаты нижнего днища баков окислителя и горючего соответственно.

Рисунок 1

Координата центра масс от торцевого шпангоута в момент времени определяется по формуле

Для ЛА с ЖРД (рисунок 1) момент инерции определяется как сумма собственных моментов инерции конструкции (заданная величина), компонентов «замороженного» топлива в баках и переносных моментов инерции, обусловленных несовпадением центра масс конструкции топлива и ракеты в момент времени .

Формула для определения момента инерции имеет вид

где D – диаметр баков.

Если исследуется ЛА пакетной схемы, момент инерции должен быть увеличен на величину где r – число боковых блоков;

- масса n-го бокового блока в момент времени ;

- координата центра масс бокового блока.

Для ЛА с РДТТ расчёт массовых характеристик, координаты центра масс и момента инерции проводится в следующей последовательности. Секундный массовый расход топлива и масса топлива в момент времени определяются по формулам

Высота заряда определяется по формуле

Считаем, что в начальный момент времени . Заряд выгорает от продольной оси бака к периферии, т. е. изменяется от 0 до .

В момент времени

Положение центра масс ЛА с РДТТ в момент времени определяется по формуле

Момент инерции ЛА с РДТТ в момент времени определяется по формуле

Входящие в систему (1) коэффициенты демпфирования и полагаем равными нулю.

Значения k₁ и k₂, соответствующие границе области устойчивости, определяются в зависимости от частоты по формулам [1]:

где

Каждому значению соответствуют определённые значения k₁ и k₂, т. е. точка в плоскости k₁, k₂. Для построения границы области устойчивости частота варьируется не на всём диапазоне (от до ), а только от до . Это связано с тем, что зависимости и являются чётными.

Далее производится штриховка кривой D-разбиения по следующему правилу.

Если при движении по этой кривой в сторону возрастания (т. е. от до ) главный определитель системы параметрических уравнений линий D-разбиения положителен, то кривую штрихуют слева. Если же при этом главный определитель отрицателен, то кривую штрихуют справа. В нашем случае главный определитель . Поэтому при возрастании от 0 до +∞ и, значит, кривую следует штриховать слева. При возрастании от - ∞ до 0 , поэтому кривую следует штриховать справа. В результате кривая окажется заштрихованной дважды с одной и той же стороны.

При система параметрических уравнений линий D-разбиения приводится к одному уравнению:

Это уравнение прямой, проходящей через особую точку . Прямую следует штриховать так, чтобы вблизи особой точки штриховка прямой и кривой были направлены в одну и ту же сторону. Область, покрытая наибольшим числом штриховок, будет областью устойчивости, если таковая в рассматриваемый момент времени вообще имеется.

Подобное построение областей устойчивости проводят для различных фиксированных моментов времени с интервалом в 10-20 секунд (рисунок 2). Общая часть всех полученных таким путём областей устойчивости представляет собой область тех значений параметров k₁ и k₂, при которых устойчивость обеспечивается на всей траектории. Поиск общей для различных моментов времени области устойчивости и выбор из неё k₁ и k₂ производится по следующей методике.

После построения нескольких кривых D-разбиения определяется зона поиска общей области – прямоугольник, ограниченный прямыми , , , .Разбив этот прямоугольник на сетку и обеспечив достаточный шаг, проверяются точки плоскости, являющиеся узлами сетки, на принадлежность к общей области устойчивости. Каждая точка проверяется по критерию Рауса-Гурвица для всех рассматриваемых моментов времени. После обнаружения 50 точек общей области или после перебора всех узлов сетки (если общих точек меньше 50) вычисляются коэффициенты k1^* и k₂^* по формулам

где k₁^*_min, k₁^*_max, k₂^*_min, k₂^*_max – минимальные и максимальные значения коэффициентов, принадлежащих общей области устойчивости.

Коэффициенты k1^* и k₂^* используются в дальнейших расчётах.

Рисунок 2