Частотные характеристики

Важнейшей характеристикой динамической системы является ее частотная передаточная функция. Частотной передаточной функцией системы называется отношение изображений Фурье ее выходной и входной переменной. Частотная передаточная функция системы легко может быть найдена по ее передаточной функции при подстановке p = jw.

(1.3)

Функция W(jw) может быть представлена в следующем виде:

, (1.4)

где А(w)=mod W(jw) - модуль частотной передаточной функции;

j(w)=arg W(jw) - аргумент или фаза частотной передаточной функции;

Re(w) и Im(w) - вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции.

Из теории комплексных чисел известны следующие выражения, позволяющие сделать переход из показательной формы комплексного числа в алгебраическую форму:

(1.5)

(1.6)

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики: амплитудная частотная характеристика (АЧХ), фазовая частотная характеристика (ФЧХ), амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ).

Частотные характеристики системы характеризуют реакцию системы на гармоническое воздействие в установившемся режиме.

Пусть на вход системы подано гармоническое воздействие:

x₁ = X_1m×cos(w×t), (1.7)

где X_1m - амплитуда;

w - угловая частота этого воздействия.

На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция:

x₂ = X_2m×cos(wt+j), (1.8)

где X_2m - амплитуда;

j - угол сдвига по фазе.

Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуды выходной величины к амплитуде входной:

(1.9)

Аргумент частотной передаточной функции - сдвиг фаз выходной величины по отношению ко входной.

Таким образом, амплитудная частотная характеристика А(w) (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; фазовая частотная характеристика j(w) (ФЧХ) показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов вектора (годограф), соответствующих частотной передаточной функции W(jw) при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ).

По оси абсцисс откладывается вещественная часть Re(w), а по оси ординат - мнимая часть Im(w). АФХ может быть построена как для положительных, так и для отрицательных частот. Следует отметить, что при замене w на -w в частотной передаточной функции получается сопряженная комплексная величина. Поэтому АФХ для отрицательных частот может быть построена как зеркальное отображение относительно оси абсцисс.

Кроме перечисленных выше частотных характеристик при анализе и синтезе систем автоматического управления используются также логарифмические частотные характеристики - логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ):

L(w)=20×lg ½W(jw)½=20×lg A(w) (1.10)

и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ). При этом при построении логарифмических характеристик по оси абсцисс откладываются величины, равные lg(w).

Порядок выполнения работы

1. Собрать схемы моделирования временных характеристик:

Рис. 1.4. Схемы моделирования временных характеристик.

2. Снять переходные характеристики при следующих изменениях значений параметров:

2.1. Интегрирующее звено.

Передаточная функция звена

А). Значение передаточного коэффициента K = K₁.

Б). K = K₂ K₁ (для наглядности следует изменять параметры в несколько раз, например, в десять).

2.2. Апериодическое звено.

Передаточная функция звена

А). Значение передаточного коэффициента K = K₁, значение постоянной времени T = T₁.

Б). K = K₂ K₁, T = T₁

В). K = K₃ = K₁, T = T₃ T₁

2.3. Форсирующее звено.

Передаточная функция звена

А). Значение передаточного коэффициента K = K₁, значение постоянной времени T = T₁.

Б). K = K₂ K₁, T = T₁

В). K = K₃ = K₁, T = T₃ T₁

2.4. Колебательное звено.

Передаточная функция звена

А). Значение передаточного коэффициента K = K₁, значение постоянной времени T = T₁, значение коэффициента колебательности = ₁, 0 < ₁ < 1

Б). K = K₂ K₁, T = T₁, = ₁

В). K = K₁, T = T₂ T₁ = ₁

Г). K = K₁, T = T₁ 0 < = _{2 1} <1

Д). K = K₁, T = T₁ = 0

Е). K = K₁, T = T₁ = 1

Ж). K = K₁, T = T₁ = -1

2.5. Реально-дифференцирующее звено.

Передаточная функция звена

А). Значение передаточного коэффициента

K = K₁, значение постоянной времени T = T₁.

Б). K = K₂ K₁, T = T₁

В). K = K₃ = K₁, T = T₃ T₁

2.6. Реально-форсирующее (упругое) звено.

Передаточная функция звена

Снять переходную и импульсную переходную характеристики при следующих значениях параметров:

А). K = K₁, T₁ = 10, T₂ = 0.1

Б). K = K₁, T₁ = 1, T₂ = 10

2.7. Изодромное звено.

Передаточная функция звена

Снять переходную и импульсную переходную характеристики при следующих значениях параметров:

А). Значение передаточного коэффициента

K = K₁, значение постоянной времени T = T₁.

Б). K = K₂ K₁, T = T₁

В). K = K₃ = K₁, T = T₃ T₁

3. Снять импульсные переходные характеристики при следующих изменениях значений параметров:

3.1. Интегрирующее звено. Пункты а, б.

3.2. Апериодическое звено. Пункты а, б, в.

3.3. Форсирующее звено. Пункты а, б, в.

3.4 Колебательное звено. Пункты а, в, д.

4. По построенным графикам определить коэффициенты усиления звеньев.

5. Построить схемы для получения АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ типовых звеньев (интегрирующего, апериодического, колебательного, реально-дифференцируюшего, упругого и изодромного).

Рис. 1.6. Схема исследования для снятия частотных характеристик типового звена.

где

- представляет собой задание частоты w от нуля до бесконечности (Ramp)

6. Получить графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ. Зарисовать полученные графики, обратив особое внимание на координаты характерных точек графиков (min, max, разрывы и т.д.).

Содержание отчета

1. Графики экспериментально полученных временных характеристик.

2. Определение коэффициента усиления звеньев.

3. Математические выражения для АЧХ, ФЧХ исследуемых звеньев.

4. Графики экспериментально полученных частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ, АЧФХ, ЛАЧХ).

5. Обоснование полученных характерных точек графиков АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ.

6. Выводы.

Контрольные вопросы

1. Что такое временные характеристики звеньев?

2. Как из передаточной функции звена можно получить уравнение, описывающее поведение данного звена? (Задача).

3. Как по временным характеристикам можно определить параметры звеньев? (Задача).

4. Связь между переходной, импульсной переходной и передаточной функциями. (Задача).

5. Определение вида временной характеристики по заданной структурной схеме. (Задача)

6. Амплитудные и фазовые частотные характеристики звена (системы) и их физический смысл.

7. Как определяются и строятся амплитудно-фазовые, мнимые и вещественные частотные характеристики?

8. Что такое логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики?

9. Связь между амплитудной, фазовой и вещественной и мнимой частотной характеристиками.

10. Как по частотным характеристикам можно определить параметры звеньев? (Задача).