Решение неравенств с модулем

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим два случая: 1) и 2) .

1) В этом случае неравенство равносильно системе

Преобразуя первое неравенство к виду , получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства .

Преобразуя второе неравенство , получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства . Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть .

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

Решение первого неравенства (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к , его решение (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть .

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. .

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство , а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Точки и (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При выполняется , и неравенство имеет вид , то есть . В этом случае ответ .

2) При выполняется , неравенство имеет вид , то есть . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве , получаем ответ во втором случае .

3) При выполняется , неравенство преобразуется к , и решение в этом случае . Общее решение неравенства --- объединение трех полученных ответов.

Ответ. .

Задачи. Решите неравенства:

1. .

2. .

3. .

4. .