![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Прямая пропорциональность. Линейная функция.
Обратная пропорциональность. Гипербола.
Квадратичная функция. Квадратная парабола.
Степенная функция. Показательная функция.
Логарифмическая функция. Тригонометрические функции.
Обратные тригонометрические функции.
1. | Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k x,
где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности).
График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол ![]() ![]() ![]() |
2. | Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:
A x + B y = C,
где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
![]() |
3. | Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k / x,
где k - постоянная величина.
График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.
![]() ![]() ![]() |
4. | Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a ![]() ![]() ![]() |
Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0.
Основные характеристики и свойства квадратной параболы:
- область определения функции: - < x < +
(т.e. x
R), а область
значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);
- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины
ведёт себя, как монотонная;
- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,
и непериодическая;
- при D < 0 не имеет нулей. (А что при D 0?).
5. | Степенная функция. Это функция: y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х. Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
6. | Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3.
Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.
![]() ![]() ![]() ![]() |
7. | Логарифмическая функция. Функция y = log ax, где a – постоянное положительное число,не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.
![]() ![]() ![]() ![]() |
8. | Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
9. | Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.
![]() |
Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24)многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x
+1 и -
< y < +
. Поскольку эти функции многозначные,не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.
Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:
- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x
+1;
их области значений: - /2
y
/2 для y = arcsin x и 0
y
для y = arccos x;
- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные
(y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая);
- каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и
x = 1 у функции y = arccos x).
Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26)- многозначные, неограниченные; их область определения: -
x
+
. Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.
Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:
- у обеих функций одна и та же область определения: -
x
+
;
их области значений: - /2< y <
/2 для y = arctan x и 0 < y <
для y = arccos x;
- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные
(y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая);
- только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0);
функция y = arccot x нулей не имеет.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 381 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!