Графическое решение неравенств

Приближённое решение неравенств.

Графическое решение неравенств с одним неизвестным.

Графическое решение систем неравенств с двумя неизвестными.

Пересечение решений.

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным, необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду:

f (x) > 0,

и построить график функции y = f (x). После этого,используя построенный график, можно найти нули функции, которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x,внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b (рис.30). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f (x) > 0: x < a и x > b (они выделены жирными стрелками). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: <, , .

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду:

и построить графики функций y = f (x), y = g (x),..., y = h (x).Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую часть.

П р и м е р. Решить графически систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала построим графики функций y = - 2 / 3 x + 2 и y = x ² -1 (рис.31):

Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x < -1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т.e. привести

неравенства к виду:

2) построить графики функций, заданных неявно: f (x, y) = 0 и g (x, y) = 0;

3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части:

в одной из них неравенство справедливо, в другой – нет; чтобы решить

графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить

справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой

части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит

эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то

решением является противоположная часть плоскости;

4) решением заданной системы неравенств является пересечение

(общая область) частей координатной плоскости.

П р и м е р. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала строим графики линейных функций: 5 x – 7 y = -11 и

2 x + 3 y = 10 (рис.32). Для каждой из них находим полуплоскость,

внутри которой соответствующее заданное неравенство

справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость

неравенства в одной произвольной точке области; в данном

случае легче всего использовать для этого начало координат O (0, 0).

Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y,

получим: 5 · 0 – 7 · 0 = 0 > -11, следовательно, нижняя

полуплоскость (жёлтого цвета) является решением первого

неравенства; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство

имеет своим решением также нижнюю полуплоскость (голубого

цвета). Пересечение этих полуплоскостей (область цвета бирюзы)

является решением нашей системы неравенств.