Используя теорему Остроградского - Гаусса решить задачи (10 неделя)

1. Доказать, что поток радиуса вектора через любую гладкую замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен утроенному объему тела, ограниченной этой поверхностью.

2. Найти поток вектора через всю поверхность куба

в направлении внешней нормали.
Ответ: а⁵

3. Найти поток вектора , проходящий через всю поверхность сферы в направлении внешней нормали. Ответ:

4. Найти поток вектора направленный в отрицательную сторону оси Ох через поверхность части параболоида y ²+ z ² =Rx отсекаемую плоскостью х=R.

Ответ:

5.* Преобразовать циркуляцию вектора по замкнутому контору h в плоском поле в двойной интеграл по площади ограниченной этим контуром.

6. Найдите поток вектора : через всю поверхность тела , в направлении внешней нормали. Ответ:

7. Найти поток вектора через всю поверхность x² + y² ; в направлении внешней нормали. Ответ:

8. Вычислить: где –σ внешняя сторона поверхности,

расположенной в 1-ом октанте и составленной из параболоида вращения z = x² + y², цилиндра x² + y² = 1 и координатных плоскостей x=0 y=0 z=0. Ответ:

9. Вычислить поток радиуса вектора через боковую поверхность круглого цилиндра (радиус основания R, высота Н), если ось цилиндра проходит через начало координат. .
Ответ: 2

10. Вычислить поток радиуса вектора через боковую поверхность конуса, основание которого находится на плоскости XOУ, а ось = ось OZ. Высота конуса равна 1, радиус основания 2. Ответ:

10. Найти поток вектора через границу части шара заключенной в I-ом октанте. Ответ:

11. Найдите поток вектора через боковую поверхность пирамиды с вершиной в точке М(0,0,2), основанием которого служит ОАВ: О(0,0,0), А(2,0,0), В(0,1,0); . Ответ:

12. Вычислить поток вихря поля векторов F(P)= y через поверхность

параболоида вращения z = 2(1-x² –y²) отсечённую плоскостью z=0. Ответ: -π

13. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси ОZ.

Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиуса К, центр которой лежит на оси вращения, а плоскость окружности перпендикуляра к оси вращения в направлении вращении. Ответ:

14. Вычислить циркуляцию радиуса вектора вдоль одного витка АВ винтовой линии

x=acost; y=asint; z=dt; (где t₁ = 0; t₂ =2π)

. Ответ:

15. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен

U(x;y)=x(x²-3y²). Вычислить количество жидкости, протекающей за единицу времени через отрезок прямой линии, соединяющей начало (0;0) с точкой А (1;1)

Ответ: 2.

16. Вычислить поток и циркуляцию вектора , где -радиус-вектор точки Р(х;у) вдоль произвольной замкнутой кривой L.

Ответ: .

17. Вычислить поток и циркуляцию вектора вдоль произвольной

замкнутой кривой L. Ответ:П=0;

18. Вычислить поток и циркуляцию вектора вдоль окружности радиуса R с центром в начале координат.

П = ,

19. Найти поток градиента скалярного поля через поверхность уровня этого скалярного поля в направлении внешней нормали. Ответ:

20. Найти поток градиента скалярного поля через часть сферы в направлении нормали, образующей острый угол с осью Оу.

Ответ: .

Литература: 1,2,4,9,14,16,22,23, 26,27,43.