Критерий минимакса сожалений (минимаксного риска) (критерии Сэвиджа)

Критерий минимакса сожалений (минимаксного риска) (критерий Сэвиджа)– F_S основан на принципе минимизации потерь, связанных с тем, что игрок А принял неоптимальное решение.

Матрице решений, выраженной в определенных значениях критерия E_mp, ставится в соответствие новая матрица решений, выраженная в так называемых рисках r_mp.

Риском называют разность между выигрышем, который можно получить, если знать действительное состояние природы, и выигрышем, который будет получен при отсутствии этой информации.

Значения определяются как разность между максимальным значением столбца и соответствующими значениями данного столбца, т.е. .

Оптимальным считается критерий с показателем риска, выбранным по правилу минимакса:

Для рассматриваемого примера (табл. 1.2) на основании платежной матрицы составляем «матрицу рисков», в которой записываем не приведенные затраты З _ij, а «риски» r_ij – разности между З _ij и минимальными затратами при данных условиях j. Для каждого столбца j отыскивают строку k, где имеет место наименьшее значение Для нее принимают риск r_kj = 0, а во всех остальных строках столбца j вместо З _ij записывают разности (риски) r_kj = З _ij – З _kj (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Значения рисков

Планы развития	Возможные нагрузки
Р 1	Р 2	Р 3
U 1 U 2 U 3

В критерии Севиджа используется матрица рисков совершенно также, как и в критерии Вальда – матрица затрат:

.

Для рассматриваемого случая имеем

max r _{1 j} = r ₁₃ = 10; max r _{2 j} = r ₂₁ = 15; max r _{3 j} = r ₃₁ = 10; U * = U ₁.

Следует отметить, что критерии Севиджа и Вальда имеют иногда совпадающие, а иногда несовпадающие решения.

Из множества решений, оптимальных по отдельным критериям, основываясь также на специфике задачи и неформализуемой информации, руководитель может выбрать наилучшее решение.

Рассмотренные критерии использовались для задачи в статистической постановке. Очевидно, что они в принципе сохраняются и для динамических задач, когда вместо единственного значения P_j принимают функцию P_j (t) и строят динамический план развития системы. В этих задачах, как и в статистических, выбор критерия осуществляется на основании дополнительных соображений.

Эффективность функционирования производственных объектов любой сложности количественно оценивается соответствующими системами технико-экономических показателей. При этом очевидно, что оптимальное значение одного или даже нескольких показателей не означает, что данное состояние объекта наилучшее, так как значения остальных показателей для него могут быть ниже, чем для других состояний.

В этих условиях возникает задача нахождения такого состояния (например, варианта плана производства продукции), в котором значения всех рассматриваемых показателей были бы пусть и не оптимальными, но в определенном смысле наилучшими по выполнению всех показателей одновременно. Такие планы называют компромиссно-оптимальными, а задачи их поиска – принятием сложного решения.

Наиболее общая математическая формулировка многокритериальных задач принятия решений представлена выражениями (1.7), (1.8). К общей формулировке многокритериальной задачи принятия решения могут сводиться задачи различного происхождения, которые можно классифицировать на четыре типа:

1 Задачи оптимизации на множестве целей. Имеется множество разнородных целей, каждая из которых должна быть учтена при выборе оптимального решения.

2 Задачи оптимизации на множестве объектов. Рассматривается совокупность объектов, качество функционирования каждого из которых оценивается самостоятельным критерием; качество функционирования совокупности объектов оценивается векторным критерием, составленным из частных критериев, характеризующих каждый объект.

3 Задачи оптимизации на множестве условии функционирования – задан спектр условий, в которых предстоит работать объекту, и применительно к каждому условию качество функционирования оценивается некоторым частным критерием.

4 Задачи оптимизации на множестве этапов функционирования – рассматривается функционирование объекта на некотором интервале времени, разбитом на несколько этапов; качество управления на каждом этапе оценивается частным критерием, а на множестве этапов – общим векторным критерием.