Результаты измерения пяти объектов

	а 1	а 2	а 3	а 4	а 5
а 1
а 2
а 3
а 4
а 5

В табл. 2.6 на диагонали всегда будут расположены единицы, поскольку объект эквивалентен себе. Представление (2.2) характерно для отображения результатов спортивных состязаний. За выигрыш даются два очка, за ничью одно и за проигрыш ноль очков (футбол, хоккей и т.п.). Предпочтительность одного объекта перед другим трактуется в данном случае как выигрыш одного участника турнира у другого. Таблица результатов измерения при использовании числового представления не отличается от таблиц результатов спортивных турниров за исключением диагональных элементов (обычно в турнирных таблицах диагональные элементы заштрихованы). В качестве примера в табл. 2.7 приведены результаты измерения пяти объектов с использованием представления (2.2), соответствующие табл. 2.6.

Вместо представления (2.2) часто используют эквивалентное ему представление

которое получается из (2.2) заменой 2 на +1, 1 на 0 и 0 на -1.

Если сравнение пар объектов производится отдельно по различным показателям или сравнение осуществляет группа экспертов, то по каждому показателю или эксперту составляется своя таблица результатов парных сравнений. Сравнение во всех возможных парах не дает полного упорядочения объектов, поэтому возникает задача ранжирования объектов по результатам их парного сравнения.

Однако, как показывает опыт, эксперт далеко не всегда последователен в своих предпочтениях. В результате использования метода парных сравнений эксперт может указать, что объект a ₁ предпочтительнее объекта a ₂, a ₂ предпочтительнее объекта a ₃ и в то же время a ₃ предпочтительнее объекта a ₁.

В случае разбиения объекта на классы эксперт может к одному классу отнести пары a ₁ и a ₂, a ₂ и a ₃, но в то же время объекты a ₁ и a ₃ отнести к различным классам. Такая непоследовательность эксперта может объясняться различными причинами: сложностью задачи, неочевидностью предпочтительности объектов или разбиения их на классы (в противном случае, когда все очевидно, проведение экспертизы необязательно), недостаточной компетентностью эксперта, недостаточно четкой постановкой задачи, многокритериальностью рассматриваемых объектов и т.д.

Непоследовательность эксперта приводит к тому, что в результате парных сравнений при определении сравнительной предпочтительности объектов мы не получаем ранжирования и даже отношений частичного порядка не выполнено свойство транзитивности.

Если целью экспертизы при определении сравнительной предпочтительности объектов является получение ранжирования или частичного упорядочения, необходима их дополнительная идентификация. В этих случаях имеет смысл в качестве результирующего отношения выбирать отношение заданного типа, ближайшее к полученному в эксперименте.

Множественные сравнения. Они отличаются от парных тем, что экспертам последовательно предъявляются не пары, а тройки, четверки,..., n -ки (n < N) объектов. Эксперт их упорядочивает по важности или разбивает на классы в зависимости от целей экспертизы. Множественные сравнения занимают промежуточное положение между парными сравнениями и ранжированием. С одной стороны, они позволяют использовать больший, чем при парных сравнениях, объем информации для определения экспертного суждения в результате одновременного соотнесения объекта не с одним, а с большим числом объектов. С другой стороны, при ранжировании объектов их может оказаться слишком много, что затрудняет работу эксперта и сказывается на качестве результатов экспертизы. В этом случае множественные сравнения позволяют уменьшить до разумных пределов объем поступающей к эксперту информации.

Непосредственная оценка. Метод заключается в присваивании объектам числовых значений в шкале интервалов. Эксперту необходимо поставить в соответствие каждому объекту точку на определенном отрезке числовой оси. При этом необходимо, чтобы эквивалентным объектам приписывались одинаковые числа. На рис. 2.6 в качестве примера приведено такое представление для пяти объектов на отрезок числовой оси [0,1].

Поскольку за начало отсчета выбрана нулевая точка, то в данном примере измерение производится в шкале отношений. Эксперт соединяет каждый объект линией с точкой числовой оси и получает следующие числовые представления объектов (см. рис. 2.6):

φ (a ₁) = 0,28; φ (a ₂) = φ (a ₅) = 0,75; φ (a ₃) = 0,2; φ (a ₄) = 0,5.

Рис. 2.6. Пример сравнения пяти объектов по шкале

Измерения в шкале интервалов могут быть достаточно точными при полной информированности экспертов о свойствах объектов. Эти условия на практике встречаются редко, поэтому для измерения применяют балльную оценку. При этом вместо непрерывного отрезка числовой оси рассматривают участки, которым приписываются баллы.

Эксперт, приписывая объекту балл, тем самым измеряет его с точностью до определенного отрезка числовой оси. Применяются 5-, 10- и 100-балльные шкалы.

Метод Черчмена Акоффа (последовательное сравнение). Этот метод относится к числу наиболее популярных при оценке альтернатив. В нем предполагается последовательная корректировка оценок, указанных экспертами. Основные предположения, на которых основан метод, состоят в следующем:

· каждой альтернативе a_i (i = 1: N) ставится в соответствие действительное неотрицательное число φ (a_i);

· если альтернатива a_i предпочтительнее альтернативы a_j, то φ (a_i) > φ (a_j), если же альтернативы a_i и a_i равноценны, то φ (a_i) = φ (a_j);

· если φ (a_i) и φ (a_j) оценки альтернатив a_i и a_j, то φ (a_i) + φ (a_j) соответствует совместному осуществлению альтернатив a_i и a_j. Наиболее сильным является последнее предположение об аддитивности оценок альтернатив.

Согласно методу Черчмена-Акоффа альтернативы a ₁, a ₂,..., a_N ранжируются по предпочтительности. Пусть для удобства изложения альтернатива а ₁ наиболее предпочтительна, за ней следует а ₂ и т.д. Эксперт указывает предварительные численные оценки φ (a_i) для каждой из альтернатив. Иногда наиболее предпочтительной альтернативе приписывается оценка 1, остальные оценки располагаются между 0 и 1 в соответствии с их предпочтительностью. Затем эксперт производит сравнение альтернативы a ₁ и суммы альтернатив a ₂,..., a_N

Если a ₁ предпочтительнее, то эксперт корректирует оценки так, чтобы

В противном случае должно выполняться неравенство

Если альтернатива a_i оказывается менее предпочтительной, то для уточнения оценок она сравнивается по предпочтению с суммой альтернатив a ₂, a ₃,..., a_{N -1} и т.д. После того как альтернатива a ₁ оказывается предпочтительнее суммы альтернатив a ₂,..., a_k (к ≥ 2), она исключается из рассмотрения, а вместо оценки альтернативы a ₁ рассматривается и корректируется оценка альтернативы a ₁. Процесс продолжается до тех пор, пока откорректированными не окажутся оценки всех альтернатив.

При достаточно большом N применение метода Черчмена-Акоффа становится слишком трудоемким. В этом случае целесообразно разбить альтернативы на группы, а одну из альтернатив, например максимальную, включить во все группы. Это позволяет получить численные оценки всех альтернатив с помощью оценивания внутри каждой группы.

Метод Черчмена-Акоффа является одним самых эффективных. Его можно успешно использовать при измерениях в шкале отношений. В этом случае определяется наиболее предпочтительная альтернатива a_{i 1}. Ей присваивается максимальная оценка. Для всех остальных альтернатив эксперт указывает, во сколько раз они менее предпочтительны, чем a_{i 1}. Для корректировки численных оценок альтернатив можно использовать как стандартную процедуру метода Черчмена-Акоффа, так и попарное сравнение предпочтительности альтернатив. Если численные оценки альтернатив не совпадают с представлением эксперта об их предпочтительности, производится корректировка.

Метод Терстоуна. Терстоун (Thurstone) Луис Леон (1887–1955) - американский психолог, психометрист. Целью оценки методом Терстоуна является определение места суждения в континууме. (Континуум – от лат. continuum – непрерывное. Здесь термин употребляется для обозначения образований, обладающих известными свойствами непрерывности).

Этот метод разработан Луи Терстоуном и впервые был использован для ранжирования преступлений по степени серьезности и для ранжирования различных национальностей по предпочтительности с точки зрения дружеских отношений.

В методе Терстоуна для численных оценок предпочтительности альтернатив используются парные сравнения. Через s_ij обозначим частоту выбора альтернативы a_i в качестве более предпочтительной при сравнении с альтернативой a_j. Предполагается, что оценка каждой из рассматриваемых альтернатив является случайной величиной и каждую ее реализацию может оценить эксперт. Эта случайная величина предполагается распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M _i, и дисперсией σ². Разность случайных величин f (а_i) и f (a_j) также распределена по нормальному закону распределения с математическим ожиданием M _i = M _i - M _j и дисперсией где r_ij – коэффициент корреляции между величин f (а_i) и f (а_j). Задачей является определение величин M _i, i: 1: n. Так как число альтернатив и оценок ограничено, то мы имеем дискретное распределение математических ожиданий, вычисляемых по формуле: , где - частость появления значения х_i случайной величины Х (оценки эксперта), N – количество экспертов, m_i – частота появлений х_i.

Метод фон Неймана-Моргенштерна. Он заключается в получении численных оценок альтернатив с помощью так называемых вероятностных смесей. В основе метода лежит предположение, согласно которому эксперт для любой альтернативы a_j, менее предпочтительной, чем a_i, но более предпочтительной, чем a_l может указать число а_p (0 ≤ р ≤ 1) такое, что альтернатива a_j эквивалентна смешанной альтернативе (вероятностной смеси) [ рa_i, (1 - р) a_l ]. Смешанная альтернатива состоит в том, что альтернатива a_i выбирается с вероятностью Р, а альтернатива a_l с вероятностью 1 - Р. Очевидно, что если Р достаточно близко к 1, то альтернатива a_j менее предпочтительна, чем смешанная альтернатива [ рa_i, (1 - р) a_l ]. В литературе помимо упомянутого выше предположения рассматривается система предположений (аксиом) о свойствах смешанных и несмешанных альтернатив. К числу таких предположений относятся предположение о связности и транзитивности отношения предпочтительности альтернатив, предположение о том, что смешанная альтернатива [ рa_i, (1 - р) a_l ] предпочтительнее, чем [ р ′ a_i, (1 - р′) a_l ], если р > р ′, и др.

Если указанная система предпочтений выполнена, то для каждой из набора основных альтернатив а ₁, а ₂,..., a_N определяются числа x ₁, x ₂,..., x_N, характеризующие численную оценку смешанных альтернатив.

Численная оценка смешанной альтернативы [ p ₁ a ₁, p ₂ a ₂,..., p_N a_N ] равна x ₁ p ₁ + x ₂ p ₂ +... + x_N p_N.

Смешанная альтернатива [ p ₁ a ₁, p ₂ a ₂,..., p_N a_N ] предпочтительнее смешанной альтернативы [ p ′₁ a ₁, p ′₂ a ₂,..., p ′ _N a_N ], если

x ₁ p ₁ + x ₂ p ₂ +... + x_N p_N > x ₁ p ′₁ + x ₂ p ′₂ +... + x_N p ′ _N.

Таким образом, устанавливается существование функции полезности

x ₁ p ₁ +... + x_N p_N,

значение которой характеризует степень предпочтительности любой смешанной альтернативы, в частности и несмешанной. Более предпочтительна та смешанная альтернатива, для которой значение функции полезности больше.

Рассмотренные выше методы экспертных оценок обладают различными качествами, но приводят в общем случае к близким результатам. Практика применения этих методов показала, что наиболее эффективно комплексное применение различных методов для решения одной и той же задачи. Сравнительный анализ результатов повышает обоснованность делаемых выводов. При этом следует учитывать, что методом, требующим минимальных затрат, является ранжирование, а наиболее трудоемким метод последовательного сравнения (Черчмена Акоффа). Метод парного сравнения без дополнительной обработки не дает полного упорядочения объектов.

Метод приписывания баллов основан на том, что эксперты оценивают важность частного критерия по шкале 0 – 10. При этом разрешается оценивать важность критерия дробными величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы нескольким критериям. Зная балл i -гo критерия у k-го эксперта, весовые коэффициенты c_i можно найти из (1.12), заменив в нем на

Последний называют весом, подсчитанным для i -го частного критерия F_i(X), на основе оценок k -го эксперта.

Важное место занимает обработка результатов экспертных оценок. Если рассматривать результаты оценок каждого из экспертов как реализации некоторой случайной величины, то к ним можно применять методы математической статистики.

В общем случае при определении степени важности частного критерияF_i(X), получают набор оценок , подлежащих статистической обработке. Среднее значение оценки

,

где – коэффициент авторитета k-гo эксперта 0≤µ≤1.

Среднее значение оценки r_i выражает коллективное мнение группы экспертов. Степень согласованности мнений экспертов характеризуется величиной

называемой дисперсией экспертных оценок. Ясно, что чем меньше величины дисперсии, тем с большей уверенностью можно опираться на найденное значение r_i оценки степени важности частного критерия F_i (X). Надежность экспертизы тем выше, чем меньшую долю среднего значения составляет среднеквадратический разброс оценок. Поэтому в качестве меры надежности приведенной экспертизы часто принимают β = σ/ r_i и называют вариацией.

По среднему значению оценки r_i определяются весовые коэффициенты:

Статистическая обработка результатов экспертных оценок подобна статистической обработке результатов измерений. На достоверность экспертизы существенно влияют такие факторы, как численный состав экспертной группы, уровень компетентности экспертов, состав вопросов, предъявляемых экспертам, и т. д.

Индивидуальные экспертные оценки также носят на себе печать случайности: на суждения эксперта влияют не только такие стабильные факторы, как его знания и опыт, но и множество случайных факторов (настроение, самочувствие, обстановка и т. п.).

Каждому значению вектора параметров проектирования Х_k,соответствует альтернативный вариант S_k проектируемого объекта, качество (или эффективность) которого может быть оценено различными способами, и в частности в виде аддитивного критерия

(1.13)

где – нормированное значение i- го частного критерия для варианта S_k.

Для определения значений построим матрицу параметров i= 1 :n, j= 1 :m множества альтернативных вариантов. В матрице θ вектор-строка описывает вариант проектируемого объекта. Для перехода от к при фиксированном векторе переменных проектирования Х _k введём совокупность директивных значений параметров , устанавливаемых в ТЗ на проектирование. Тогда нормированные (относительные) значения параметров определяются как

(1.14)

Определим в матрице θ величины – экстремальные (наилучшие) значения всех параметров. Очевидно, что идеальный вариант объекта S _идолжен описываться всеми , i = 1: n.

Для оценки степени важности каждого параметра (или каждого нормированного значения параметра вводится система весов c =(с ₁,.., с_n), которая должна отражать усилия, необходимые для достижения экстремальных значении параметров (увеличить значения таких параметров, как производительность, надёжность, и другие, или уменьшить значения массогабаритных, стоимостных, энергетических параметров). Правильный выбор системы весов открывает возможность целенаправленно воздействовать на улучшение тех или иных параметров объекта путём увеличения соответствующих весов с_i.

В основу выбора системы весов положим принцип ограниченности общих затрат, необходимых для создания объекта. Это означает, что увеличение затрат на улучшение одних параметров неизбежно вызывает уменьшение затрат на улучшение других параметров.

Методика формального определения весовых коэффициентов базируется на выполнении последовательности процедур выработки предпочтения среди каждой пары показателей и .

Обозначим через значение показателя в варианте объекта, в котором максимальные затраты сосредоточены на увеличении показателя , а через наилучшее значение показателя во множестве альтернативных вариантов S, т. е.

,

где значение показателя в варианте S^j, для которого .

Величину с_i можно записать

где будут тем больше, чём большее значение придается показателю f_i и чем сильнее сказывается на снижении этого показате­ля сосредоточение усилий на показателе .

Следовательно, величины могут рассматриваться как относительные веса, показывающие относительное превосходство (доминирование) показателя над .

Для определения весовых коэффициентов применим следующий подход.

В нулевом приближении веса всех показателей принимаются одинаковыми и равными . Далее, если определены веса r -го порядка, то переход к весам r +1-го порядка будем осуществлять по формуле

,

согласно которой, веса первого, второго и т. д. порядков будут

Данный процесс довольно быстро приводит к установившейся системе весов, не зависящих от последующих итераций и от величин l_ii. В связи с этим значения l_ii можно выбирать произвольно, например равными 0,5 или 1. Нормированные веса всех показателей после проведения t итераций определяются как

Проиллюстрируем формальную методику определения весовых коэффициентов на примере.

Пример. Выбор наилучшего варианта системы автоматического регулирования. При проектировании системы автоматического регулирования представлено три конкурирующих варианта, эквивалентных по функциональному назначению системы, S ₁, S ₂ и S ₃, параметры которых приведены в табл. 1.1.

Отметим, что все и все параметры целесообразно

минимизировать.

Таблица 1.1

Значения трех конкурирующих вариантов системы автоматического регулирования

Тип системы S k	Параметры	Относительные показатели
,с	,Вт	,усл.ед.
S1 S2 S3	0,1 0,3 0,6			0,17 0,5 1,0	0,5 0,65 0,35	1,0 0,33 0,67
Требования технического задания	0,6			1,0	1,0	1,0

Примечание. Здесь θ₁ – время регулирования; θ₂ – энергопотребление; θ₃ –сложность аппаратурной реализации; -дискретные значения параметров.

В связи с тем, что все требования ТЗ для всех систем выполнены и не требуется применять определенных усилий для достижения заданных директивных значений переменных, оказывается возможным вместо соотношений (1.15) и (1.16), необходимых для определения весовых коэффициентов параметров, использовать выражения вида

Из табл. 1.1 следует, что

В табл. 1.2 приведены результаты расчётов величин и c_i на 1-й итерации. Величины l_ii взяты равными 0,5.

Таблица 1.2

Результаты расчётов величин и c_i

	0,5 0,231 1,0	1,0 0,5 0,507	0,397 0,461 0,5	1,897 1,192 2,007 5,096	0,372 0,234 0,394

Рассмотрим формирование элементов первой строки табл. 1.2:

По формуле рассчитывают коэффициенты более высоких порядков. Результаты расчетов сведены в табл. 1.3.

Из табл. 1.3 видно, что значения весовых коэффициентов параметров стабилизировались к четвертой итерации.

Согласно выражению (1.13) определим значение аддитивного критерия для всех вариантов систем:

Поскольку стремимся минимизировать значение аддитивного критерия, наиболее предпочтительным оказывается вариант S ₂.

Таблица 1.3

Результаты расчетов весов высоких порядков

№ итерации
	0,372 0,349 0,350 0,351 0,351	0,234 0,234 0,238 0,237 0,237	0,394 0,417 0,412 0,412 0,412

Метод балльных оценок обычно находит применение в случаях сопоставления простых критериев,, когда их можно не представлять в виде совокупности частных критериев более низкого ранга. Если же критерии сложные (например, критерий надежности), то их предварительно разделяют на более простые частные критерии, для которых определяют оценки. Затем осуществляется формальный переход к оценкам исходных критериев.

Для выполнения предпочтений часто используют так называемые бинарные отношения, когда выполняется попарное сравнение всех критериев.