Пример 2.1

Использование полиномиальной регрессии

Полиномиальная регрессия экспериментальных данных позволяет получить уравнение кривой, проходящей в области экспериментальных точек с минимизацией средне квадратичного значения отклонения точек от кривой. Уравнением кривой является полином, степень которого оптимизируется в процессе аппроксимации. Существует возможность дополнительной вариации коэффициентов полинома после выполнения регрессии, если на ВАХ резисторов накладываются дополнительные требования, например требование симметрии.

Пример 2.1

Найдём уравнение регрессии ВАХ нелинейного резистора по результатам эксперимента. Координаты узловых точек ВАХ Ur (Ir) внесём в столбцовые матрицы, которые для компактности оформим следующим образом:

Выберем третий порядок полинома регрессии (k = 3), и найдём коэффициенты уравнения регрессии.

По полученным коэффициентам запишем следующий полином:

С помощью функции интерполяции можно получить данную кривую для дальнейших численных расчётов и не используя уравнение полинома.

В рассматриваемом примере на уравнение регрессии накладываются следующие требования. ВАХ нелинейного резистора должна проходить через начало координат и быть симметричной относительно начала координат. Для выполнения этих требований необходимо вернуться к полиному регрессии, исключить из него постоянную составляющую и слагаемое второй степени, и изменить значения оставшихся коэффициентов, чтобы новая кривая мало отличалась от кривой, полученной в результате регрессии. Получим следующее уравнение.

На рис. 2.1 приведены экспериментальные точки ВАХ резистора и аппроксимирующие кривые.

Рисунок 2.1

На рис. 2.2 показано, какую ошибку даёт аппроксимация при изменении направления тока, если не выполнено условие симметрии относительно начала координат.

Рисунок 2.2

В тех случаях, когда уравнение регрессии определено заранее, коэффициенты уравнения можно определить с помощью функции genfit (X,Y,V,F). Для этого надо дополнительно подготовить столбцовую матрицу F, содержащую уравнение регрессии и производные относительно коэффициентов уравнения, и матрицу V начальных значений.

Например, листинг определения коэффициентов выбранного выше уравнения регрессии оформляется следующим образом:

Полученные коэффициенты близки к коэффициентам, полученным в результате подбора. Данный вариант регрессии более удобен для аппроксимации ВАХ нелинейных резисторов, но требует предварительного выбора уравнения регрессии.