Пример решения задачи №2

Условие задачи: Для двухопорной балки (рис.20а) подобрать сечение двутавра из условия прочности и жесткости. R = 210 МПа, R_cp = 130 МПа, п = 1,3; m =1,1. Модуль упругости Е = 2,1*10⁵ МПа. Предельно допустимый относительный прогиб f_npед / l =1/400. построить эпюры нормальных и касательных напряжений для сечений с наибольшим изгибающим моментом и с наибольшей поперечной силой.

Решение: 1.Подбор сечения из условия прочности. Расчетная нагрузка

q_P = q^Н= 10*1.3 = 13 kH/m.

F_P = F^Hn = 15*1.3 = 19.5 kH/m

Схема балки с расчетной нагрузкой изображена на рис.206. Для рассматриваемой палки наибольший изгибающий момент в сечении посередине пролёта. Определяем его как сумму моментов от действия равномерно распределённой и сосредоточенной нагрузок, используя готовые формулы:

М_мах = q_P l²/8+F_Pl/4=(13*5²)/8+(19,5*5)/4 = 0,065 МНм

Строим эпюру моментов по трем точкам: М_A=0, М_с=65кНм, М_В=0 (рис.20в).

Рис.20

Из условия прочности при изгибе = М_мах / W_тp mR

Определяем W_тp - требуемый момент го противления поперечного сечения балки:

W_TP М_мах/mR = 0,065 /1,1*210 = 281см³.

По таблице сортамента принимаем двутавр №24 W_Х=289см³.

2. Подбор сечения из условия жесткости производим с помощью таблицы прогибов (приложение 5).

Второе предельное состояние конструкции характеризуется появлением чрезмерных прогибов и требует определённой жесткости, чтобы в условиях нормальной эксплуатации относительный прогиб f/l не превышал предельно допустимого относительного прогиба f_npeд / l, установленного строительными нормами (СНиП) для различных конструкций и материалов.

Условие прочности записывается в виде f /1 f_пред/I

Расчет на жесткость производят по нормативной нагрузке, а не по расчетной, т.е. без учета коэффициента перегрузки. Из таблицы приложения 6 для данного нагружения балки наибольший по абсолютной величине прогиб определяется по формуле: f=5ql⁴/384EI_x+Fl³/48EI_x.

В результате f /1 = 5q^H 1³/384EI_X + F^H I³/48EI_x f _пред /1 = 1/400. Отсюда выражаем требуемый момент инерции сечения I_тр 400/(2,1*10⁵) ((5*0,01*5³ / 348) + (0,015*5³ /48)) - 0,0001055м⁴ = 10550см⁴.

Из таблицы сортамента подбираем двутавр № 36 I_Х = 13,380см⁴. Принятый из условия прочности двутавр № 24 имеет I_х = 3460см, что недостаточно по условию жесткости. Таким образом, в данном случае решающим условием при подборе сечения является условие жесткости. Окончательно принимаем двутавр №36.

3. Определим наибольшее нормальное напряжение в сечении балки с максимальным изгибающим моментом, Из расчета М_мах = 0,065 МНм.

M_мax/W_x = ± 0.065/0.000743 =± 87.5 МПа так как для двутавра № 36

W_x = 743см³

Из теории известно, что наибольшие нормальные напряжения при поперечном изгибе возникают в крайних волокнах сечения. В нейтральном слое напряжение равно нулю. Строим эпюру нормальных напряжений. Для этого в произвольном масштабе изображаем сечение двутавра. Параллельно вертикальной оси двутавра проводим нулевую линию и откладываем от неё по разные стороны на уровне крайних волокон и . соединяем эти точки прямой линией. Эпюра нормальных напряжений построена.

4.Построим эпюру поперечных сил. Для этого необходимо сначала определить опорные реакции. Для данной балки ввиду симметрии нагрузки опорные реакции равны между собой R_A = R_B = (F_P + Q_P) / 2 = (19.5 + 13.5) / 2 = 42.25 kH.

Определяем поперечную силу.

Ход слева: Q_A = R_А= 42,25 kH;

= R_A - q 1 /2 = 42,25 – 13*2,5 = 9,75 kH;

= R_А - q 1 /2 - F = 9,75 - 19,5 = - 9,75 kH.

Ход справа: Q_B = -R_B = -42,25 kH;

По найденным значениям строим эпюру Q_X(рис.20г).

5.Определяем наибольшие касательные напряжения. Для этого с эпюры поперечных сил выбираем сечение, где Q_max = 42,25 kH.

Наибольшее касательное напряжение по высоте сечения возникает на уровне нейтральной оси и определяется по формуле Журавского:

где S_x - статический момент полусечения, расположенного выше или ниже нейтральной оси, b=d - толщина стенки двутавра; I_x, S_x, d - берем из таблиц сортамента для двутавра № 36 S_x= 423 см³ = 423*10^-бм³, 1_х = 13380*10^-8м⁴, b = d = 7,5 мм = 0,0075 м.

Подставив значения величин в формулу, получим

= 17,8*10⁶ Па = 17,8 МПа.

Строим эпюру касательных напряжений.

От нулевой линии на уровне нейтральной оси откладываем (рис.20д) зная характер эпюры, даем её полное изображение.

Из условия прочности по касательным напряжениям = Q_MAX S_x / 1_х b m Rсp получаем = 17,8 МПа < m R_cp = 1,1*130 = 143 МПа.

б.Большой запас прочности по касательным и по нормальным напряжениям можно объяснить тем, что сечение балки подбиралось, исходя из условия жесткости.

= M_max/W_x m R; = 87,5 МПа < m R = 1,1*210 МПа.