Пример решения задачи №4

Перед тем как приступить к решению соответствующей задачи, следует изучить тему «Центр тяжести», твердо усвоить понятие статического момента, знать положение центров тяжести простейших геометрических фигур и уметь определять координаты центров тяжести сложных сечений, представляющих собой совокупность простейших геометрических фигур, а также сечений, составленных из стандартных профилей проката (в последнем случае необходимо уметь пользоваться таблицами ГОСТов), приведенными в приложениях 1-4. Знания и навыки по данной теме потребуются при изучении темы «Геометрические характеристики плоских сечений».

Определение координат центра тяжести сечения геометрической формы (рис.11)

Положение центра тяжести фигуры сложной формы можно определить, разбив фигуру на пять элементов простой формы, положения центров тяжести которых известны:

1- прямоугольник 25x30 см с центром тяжести C₁;

2- прямоугольник 55x10 см с центром тяжести С₂;

3- прямоугольник 25x45 см с центром тяжести С₃;

4- два треугольника с центрами тяжести С₄ и C₅.

Нанесем на сечение координатные оси. Ось Y совместим с осью симметрии сечения. Ось X проводим перпендикулярно Y по нижней грани сечения. Поскольку сечение симметрично относительно вертикальной оси и, следовательно, х_с = 0, потребуется определить только ординату Y _с центра тяжести по формуле у_с = S_x/A, где А - площадь сечения, S_x - статический момент сечения относительно оси X, определяется как сумма произведений площадей простых фигур на ординаты их центров тяжести.

Определяем площади составных частей фигуры и координаты их центров тяжести относительно выбранной оси, исходя из размеров сечения.

А₁ = 25x30 = 750 см²; у₁ = 70 см²;

А₂ = 55x10 = 550 см²; у₂ = 50 см²;

А₃ = 25x45 = 1125 см²; у₃ = 22.5 см²;

А₄ = А₅ = 15x45/2 = 337.5см²; у₄= у₅ = 30 см².

Находим статический момент площади сечения

S_x = А₁у₁ + А₂у₂ + А₃у₃ + А₄у₄ + А₅у₅ = 75050 + 55050 + 112532.5 + 33.730 + +33.730 = 125562.5 см²

Площадь сечения

А = А₁ + А₂ + А₃ + А₄ + А₅ = 750+550+1125+337,5+337,5=3100 см².

Находим ординату центра тяжести у_с= S_x/A= 125562,5 /3100 = 40,5 см.

Итак, точка С имеет координаты 0; 40.5.

По найденной ординате наносим на рисунок сечения точку С - центр тяжести. Разбивку рассмотренной фигуры по элементам можно было произвести иначе, как и положение оси Х могло быть другим.

Рис. 11 Рис. 12

Определение положения центра тяжести сечения, составленного из прокатных профилей (рис.12).

Простые элементы подобных сечений - стандартные профили прокатной стали: швеллер, двутавр, полоса, равнополочные и неравнополочные уголки.

Все необходимые размеры и характеристики профилей приведены в таблицах ГОСТа, называемых сортаментом прокатных профилей. Порядок решения тот же, что в предыдущей задаче.

Разбиваем сечение на шесть составных частей и обозначаем их центры тяжести. положение центра тяжести прокатного профиля принять по сортаменту

1 - двутавр № 20 с центром тяжести С₁;

2 - швеллер № 20 с центром тяжести С₂;

3 - два неравнополочных уголка № 8/5 с общим центром тяжести С₃;

4 - две полосы 12x200 мм с общим центром тяжести С₄.

Положение координатных осей принимаем следующим образом: ось X совмещаем с осью симметрии сечения, следовательно у_с = 0; ось Y проводим перпендикулярно оси X по наружной грани стенки швеллера. Необходимо определить лишь координату центра тяжести х_с по формуле х_с = S_y/A, где S_у - статический момент относительно оси Y, определяется аналогично S_x предыдущей задачи, с той лишь разницей, что в этом случае участвуют абсциссы х₁, х₂, х₃, х₄ центров тяжести прокатных профилей. Выписываем из соответствующих таблиц сортамента площади профилей и, используя размеры, находим абсциссы их центов тяжести:

A₁ = 26,8 см²; х₁ = 20 см;

А₂ = 23,4 см²; х₂ = z₀ = 2.07 см;

А₃ = 2*7,55 см²; х₃ = у₀ = - 2.65 см;

А₄ = А₅ = 2(1,2*20) = 48 см²; у₄ = 10 см.

Находим статический момент площади сечения

S_y = A₁x₁ + А₂х₂ + А₃х₃ + А₄х₄ = 26.8*20 + 23.4*2.07 + 15.1*(- 2.65) + 48*10 = 1024.42 см³

Площадь сечения А = А₁ + А₂ +А₃ + А₄ =26.8 + 23.4+ 15.1 + 48 = 113.3 см².

Находим координату центра тяжести х_с= S_y/A = 1024,42 /113,3 = 9,04 см.

Итак, точка С имеет координаты 9,04;0.

Наносим найденный центр тяжести на рисунок сечения.