Теорема Лапласа (точнее частный случай Теорема Лапласа)

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

= a_i1А_i1 + a_i2 A_i2+…+ a_inA_in= _isA_is– разложениепоэлементамi-й строки;

= a_1jА_1j+ a_2jA_2j+…+ a_njA_nj= _sjA_sj– разложениепоэлементам j-ого столбца;

Пример: вычислить определитель матрицы А

А= , используя разложение по элементам а) первой

строки; б) второго столбца.

а) Найдём алгебраические дополнения элементов первой строки:

А₁₁=(-1)¹⁺¹ = 1-6=-5

А₁₂=(-1)¹⁺² = -(5-0) = -5

А₁₃=(-1)¹⁺³ = 15-0=15

пот. Лапласа: = a₁₁A₁₁+ a₁₂ A₁₂+ a₁₃ A₁₃ = 1(-5)+2(-5)+0+15=-15

б) Найдём алгебраические дополнения элементов второго столбца:

А₁₂=(-1)²⁺¹ = (-1)³5=-5

А₂₂=(-1)²⁺² = 1

А₃₂=(-1)³⁺² = -1-2=-2

потеоремеЛапласа: = a₁₂A₁₂+ a₂₂ A₂₂+ a₃₂ A₃₂ =

=2(-5)+1*1+3*(-2)= -10+1-6=-15

Ответ: -15.

Д/3 Найти определитель разложением его по элементам первой строки

=

Пример. Вычислить определитель.

DetA=

Решение. Приведём определитель к виду, в котором в первой строке будут числа 1,0,0,0. Для этого первый столбец будем прибавлять к последующим столбцам, умножая его на числа (-2); (-3); (+4)

detA= = = воспользуемся разложением полученного определителя по элементам первой строки:

a₁₁A₁₁+0+0+0=1*(-1)¹⁺¹M₁₁=1*(-1)¹⁺¹ =3*(-10)*11+ (-5)*(-4)*(-3)+5*14*(-5)-(-5)*(-10)*(-3)-3*(-4)*14-(-5)*5*11=-330-60-350+150+168+273=-149

Ответ: -149