Пример решения задачи. Задача 6. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов и трех сопротивлений (рис

Задача 6. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов и трех сопротивлений (рис. 14). В этой цепи R ₁ = 100 Ом; R ₂ = 50 Ом; R ₃ = 20 Ом; e ₁ = 2 В; e ₂ = 4 В. Определить силу тока во всех участках цепи. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Дано: R 1 = 100 Ом; R 2 = 50 Ом; R 3 = 20 Ом; e 1 = 2 В; e 2 = 4 В
Найти: I 1, I 2, I 3

Решение.

Для расчета разветвленных цепей применим правила Кирхгофа. В каждом контуре (см. рис. 14) выберем (произвольно) и укажем направление тока. Условимся обходить контуры по ходу часовой стрелки. В цепи есть два узла – F и D (т. е. N = 2). Значит, первое правило Кирхгофа можно записать только для одного из них (т. е. ). По первому правилу Кирхгофа для узла D имеем:

I ₁ - I ₂ - I ₃= 0, (73)

где ток I ₁ взят со знаком «плюс», поскольку течет к узлу D, a токи I ₂ и I ₃ – со знаком «минус», так как они текут от узла.

Так как в цепи всего три ветви: FABCD (первая), DMKF (вторая), FD (третья) (т. е. Р = 3), а в решении записано всего одно уравнение, то необходимо записать еще два уравнения.

По второму правилу Кирхгофа для контура ABCDFA имеем:

- I ₁ R ₁ - I ₂ R ₂ = - e ₁; (74)

для контура FDMKF –

I ₁ R ₁ + I ₃ R ₃ = e ₂. (75)

Подставим данные задачи в уравнения (74), (75), получим систему линейных уравнений:

I ₁ - I ₂ - I ₃= 0;

-100 I ₁ – 50 I ₂ = 2; (76)

100 I ₁ – 50 I ₃ = 4.

Упростим систему (76):

I ₁ - I ₂ - I ₃= 0;

50 I ₁ + 25 I ₂ = –1; (77)

25 I ₁ + 5 I ₃ = 1.

Решим систему (77) методом Крамера. Составим и вычислим определитель D системы (77):

Составим и вычислим определители при неизвестных D₁, D₂, D₃:

Найдем численные значения токов:

I ₁ = D₁/D; I ₁ = 3×10^-2 А;

I ₂= D₂/D; I ₂ = –2×10^-2 А;

I ₃= D₃/D; I ₃ = 5×10^-2 А.

Проверим решение задачи. По первому правилу Кирхгофа

I ₁ - I ₂ - I ₃= 0; (78)

Подставим в уравнение (78) численные значения:

3×10^-2 = –2×10^-2 + 5×10^-2.

Равенство справедливо.

Ответ: I ₁ = 3×10^-2 А; I ₂= –2×10^-2 А; I ₃= 5×10^-2 А.