Примеры решения задач. Задача 3. Напряжение на шинах электростанции равно 10 кВ, расстояние до потребителя составляет 400 км

Задача 3. Напряжение на шинах электростанции равно 10 кВ, расстояние до потребителя составляет 400 км. Станция должна передать потребителю мощность 100 кВт. Потери напряжения в проводах не должны превышать четырех процентов. Вычислить массу медных проводов на участке «электростанция – потребитель» (рис. 9).

Дано:	Решение. Массу m проводов можно рассчитать, зная плотность меди r и объем V проводов: т = rV. (40) Считая, что провода имеют цилиндрическую форму с пло-щадью сечения S, а также что их длина вдвое больше расстояния ℓ, найдем объем проводов:
U 0 = 104 В; ℓ = 4×105 м; Р = 105 Вт; = 0,04; r = 8900 кг/м3; rе = 1,7×10-8 Ом×м
Найти: m

V = 2 ℓS. (41)

Площадь S можно будет определить, если известно сопротивление проводов R, которое рассчитывается по формуле:

R = r_е (42)

Решив совместно уравнения (40) – (42), найдем массу проводов:

m = (43)

В уравнении (43) все величины, кроме сопротивления R проводов, известны, поэтому дальнейшее решение сводится к его определению. Как видно из рис. 9, провода и нагрузка включены последовательно, и сила тока в них всюду одинакова, поэтому напряжение на шинах определяется по уравнению:

U ₀ = U + U _н, (44)

где U и U _н – напряжение на проводах и нагрузке.

Используя закон Ома и условие, что потери напряжения не должны превышать п процентов, для напряжения на проводах можно записать:

U = RI;(45)

U = nU ₀. (46)

Получаемая потребителем мощность

Р = IU _н. (47)

Подставив уравнения (44) и (46) в формулу (47), найдем:

R = (48)

Определим массу проводов, решая совместно уравнения (48) и (43):

m = (49)

Произведем численные расчеты по формуле (49) и получим:

m = 2,522×10⁶ кг.

Ответ: m = 2,522×10⁶ кг.

Задача 4. Спираль электрического чайника разделена на две секции, одна из которых имеет сопротивление 10 Ом. Найти сопротивление второй секции, если при параллельном включении секций в сеть вода вскипает в четыре раза быстрее, чем при последовательном. Начальную температуру воды считать одинаковой.

Дано:

R 1 = 10 Ом; n = 4

Найти: R 2

Решение.

Если начальная температура воды в секциях одинаковая, то для того чтобы довести воду до кипения (независимо от числа нагревателей и способов их включения) необходимо затратить количество теплоты:

. (50)

При переключении секций нагревателя сила тока в них меняется, но остается неизменным напряжение, подаваемое на прибор (если внутренним сопротивлением источника и подводящих проводов пренебречь). Для расчета теплового действия тока воспользуемся законом Джоуля-Ленца. При последовательном соединении секций за время t ₁ выделится количество теплоты Q, необходимое для нагревания воды до кипения:

Q = (51)

При параллельном соединении секций их общее сопротивление рассчитаем по формуле:

(52)

такое же количество теплоты выделится за время t ₂ -

Q = (53)

По условию задачи при параллельном включении секций вода закипит в n раз быстрее, чем при последовательном, т. е.

t ₁ = пt ₂. (54)

Разделим уравнение (51) на формулу (53) и с учетом выражения (54) получим:

(55)

Преобразовав уравнение (55), запишем квадратное уравнение относительно R ₂:

– (п – 2) R ₁ + = 0. (56)

Решим уравнение (56):

R ₂ = R ₁ (57)

Подставим данные задачи в формулу (77), получим:

R ₂ = R ₁ = 10 Ом.

Ответ: R ₂ = 10 Ом.

Задача 5. В сеть из медного провода сечением 5 мм² требуется включить свинцовый предохранитель. Какого сечения необходимо взять предохранитель, чтобы при нагревании сети более чем на 10°С он расплавился? Начальная температура свинца равна 27°С, температура плавления свинца – 327°С. Считать, что вся электрическая энергия идет на нагревание проводов.

Дано:

S 1 = 5×10-6 м2; D T 1 = 10 K; T 0 = 300 K; T = 600 K; rе 1 = 1,7×10-8 Ом×м; rе 2 = 21×10-8 Ом×м; c 1 = 400 Дж/(кг×К); c 2 = 140 Дж/(кг×К); r 1 = 8900 кг/м3; r 2 = 11350 кг/м3; l = 24,3×103 Дж/(кг×К); ℓ = 1 м

Найти: S 2

Решение.

Плавкие предохранители включаются в сеть последовательно, и сила тока в них такая же, как и в проводах сети. Размеры предохранителя следует подобрать так, чтобы он расплавился и разомкнул цепь, как только сила тока в проводах превысит допустимую. Основным расчетным соотношением служит закон Джоуля-Ленца.

Допустим, по проводам идет ток силой I, сопротивление медной проволоки равно R ₁ и за время t проволока нагревается на D T ₁ градусов, тогда на наг-ревание проводов будет израсходована электрическая энергия, которая рассчитывается по формуле:

= I ² R ₁ t. (58)

Внутренняя энергия проводов возрастает при этом на величину

= с ₁ m ₁D T ₁, (59)

где с ₁ - удельная теплоемкость меди; m ₁ – масса проводов.

По закону сохранения энергии = , т. е.

I ² R ₁ t = с ₁ m ₁D T ₁. (60)

Массу и сопротивление проводов рассчитаем через плотность меди d ₁, длину проводов ℓ, сечение S ₁ и удельное сопротивление r ₁:

m ₁ = r ₁ S ₁ ℓ; (61)

R ₁ = r_{е 1 .} (62)

Подставив выражения (61) и (62) в формулу (60), получим:

= r ₁ с ₁ S ₁D T ₁. (63)

Рассмотрим теперь предохранитель массой т ₂ и сопротивлением R ₂, по которому течет ток силой I. За то же время t предохранитель нагреется на D Т ₂ и в нем выделится количество теплоты

= I ² R ₂ t, (64)

которая идет на нагревание и плавление предохранителя:

= с ₂ m ₂D T ₂ + lm ₂, (65)

где с ₂ и l – удельные теплоемкость и теплота плавления свинца; D T ₂ = (T – Т ₀).

Если пренебречь потерями энергии, то = , т. е.

I ² R ₂ t = с ₂ m ₂D T ₂ + lm ₂. (66)

Если плотность свинца равна r ₂, удельное сопротивление составляет r_{е 2}, длина предохранителя равна ℓ ₂ и сечение равно S ₂, то масса и сопротивление предохранителя вычисляются по формулам:

m ₂ = r ₂ S ₂ ℓ ₂; (67)

R ₂ = r_{е 2 .} (68)

Подставим выражения (67) и (68) в уравнение (66) и после сокращения на ℓ ₂ получим:

= r ₁ S ₁(с ₂D T ₂ + l). (69)

Разделим уравнение (66) на формулу (60) и после несложных преобразований имеем:

S ₂ = S ₁ (70)

Подставим данные задачи в уравнение (70), получим:

S ₂ = 3,82×10^-6 м².

Ответ: S ₂ = 3,82×10^-6 м² = 3,82 мм².