Метод Эйлера

Метод Эйлера основан на формуле (3). Иллюстрация метода Эйлера представлена на рис.8.1; - касательная к в точке и, следовательно, её наклон определяется значением производной . Погрешность метода пропорциональна h² и, следовательно, слишком велика при допустимой величине . Для повышения точности метод Эйлера модифицируют путем использования значений функции в дополнительных точках.

Рис.8.1 – иллюстрация метода Эйлера

Первый модифицированный метод Эйлера (“с пересчетом”)

Этот метод основан на формулах:

(4)

Иллюстрация метода представлена на рис.8.2, где - касательные, наклон которых определяется значениями соответственно, наклон прямой и параллельной ей определяется значением . Отметим, что прямая является биссектрисой угла, образованного прямыми .

Иллюстрация метода наглядно доказывает уменьшение ошибки ограничения по сравнению с методом Эйлера.

Рис.8.2 – иллюстрация первого модифицированного

метода Эйлера (метода «с пересчетом»)

Теперь докажем факт уменьшения ошибки ограничения, показав, как этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора. Итак, разложим в окрестности точки в ряд Тейлора:

,

где вычислены в точке . Обозначив через , получим

,

где - сумма остальных членов ряда. Подставим разложение в (4) и получим

.

Полученный результат позволяет сделать следующие выводы.

1) Метод «с пересчетом» согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени .

2) Порядок метода равен максимальной степени в его разложении. По сравнению с методом Эйлера порядок увеличился на 1 и стал равным 2. Поэтому метод «с пересчетом» называют методом Рунге-Кутта 2-го порядка, или РК2.

3) Увеличение порядка на 1 явилось следствием вычисления производной в дополнительной точке, т.е. вычисления

Второй модифицированный метод Эйлера (метод “ломаных”)

Метод “ломаных” использует формулы:

(5)

Иллюстрация метода представлена на рис.8.3, где - касательная к в точке и, следовательно, её наклон определяется значением производной .

Рис.8.3 – иллюстрация второго модифицированного

метода Эйлера (метод «ломаных»)

Следовательно, в методе “ломаных” производная вычисляется в дополнительной точке , которая была получена после вычисления производной в точке , как . Можно показать, что этот метод также является методом РК2.

Итак, модифицированные методы Эйлера имеют погрешность порядка h³. Они относятся к семейству методов Рунге-Кутта второго порядка (РК2).