Интегрирование систем ОДУ и ОДУ высших порядков

Прикладные задачи часто приводят к системам ОДУ и к ОДУ -го порядка.. В нормальной форме система ОДУ - го порядка имеет вид

(9)

где - неизвестные функции от переменного , а - заданные функции от переменных.

Задача Коши для системы (9) состоит в отыскании решения, удовлетворяющего начальным условиям .

ОДУ -го порядка разрешают относительно старшей производной

(10)

и введением новых переменных по правилу приводят к нормальной системе ОДУ первого порядка

(11)

с начальными условиями

(12)

Решением ОДУ(10) является n раз дифференцируемая функция которая обращает уравнение (10) в тождество и удовлетворяет начальным условиям (12).

Например, для решения системы ОДУ

с начальными условиями формулы метода РК4 запишутся в виде

(13)

Алгоритмы одношаговых методов Рунге-Кутта

Поскольку алгоритмы одношаговых методов однотипны, то достаточно рассмотреть один пример, чтобы построить алгоритм для любого другого задания.

Методом РК3 решить систему ОДУ

Введем новые переменные Тогда система примет вид:

Используем формулы (6) для метода РК3:

Алгоритм численного интегрирования системы ОДУ представлен на рис.8.5.

Рис.8.5 – алгоритм численного интегрирования

системы ДУ методом РК3