Приклади розрахунку

Задача 1

Графічним методом розв’язати задачу нелінійного програмування: знайти мінімум цільової функції z:

,

при обмеженнях

1 Перетворимо нерівності-обмеження у рівності для побудови графічних кривих, які визначають межі ОДР.

2 На основі обмежень на площині визначаємо область допустимих розв’язків (рис. 8.1).

3 З усієї множини точок нам потрібна лише одна – у якій цільова функція набуває найменшого значення. Вибираємо довільну точку ОДР і підставляємо її координати в цільову функцію. Визначаємо z₀ і будуємо її (рис. 8.1).

;

;

;

Цільова функція являє собою коло радіусом , що перетинає вісь в точках

4 Визначаємо напрям покращення цільової функції у порівнянні з z₀. Для цього вибираємо довільну точку ОДР по один бік від z₀, обчислюємо значення z₁ і порівнюємо з z₀.

;

;

5. Оптимальне значення цільової функції знаходиться в крайній точці ОДР, тому переміщаємо z₀ в бік оптимуму. При цьому оптимальне z_min може має одну спільну точку з ОДР яка і буде мінімальною (рисунок 8.1). Графічно визначимо координати оптимальної точки, для цього опустимо перпендикуляри на осі х₁ та х₂.

Рисунок 8.1 – Графічне зображення ОДР і цільової функції z

Визначимо мінімальне значення цільової функції в оптимальній точці

Задача 2

Визначити стаціонарні точки функції z та їх характер.

.

1 Перевіримо необхідну умову і існування стаціонарної точки

Розв’язком рівнянь є вектор .

2 Перевіримо виконання достатньої умови, для цього побудуємо матрицю Гессе

.

Всі кутові головні мінори матриці Н додатні (2; 4; 8). Отже матриця Гессе Н додатньо означена, тому точка є точкою мінімуму.

Задача 3

Розв’язати методом Ньютона наступне рівняння

Перша ітерація

1 Довільно виберемо початкове наближення . Визначимо значення та в точці .

;

;

.

2 Визначимо поправку до початкового наближення

;

.

3 Визначимо перше наближення

;

.

4 Визначимо значення в точці .

Так як, , то виберемо інше початкове наближення

.

;

.

Поправка до початкового наближення . Тоді перше наближення - . Визначимо значення та в точці .

;

.

Оскільки, , то початкове наближення вибрано вірно. Аналогічно визначаємо наступні наближення.

Задача 4

В заданій схемі електропостачання (рис. 7.1) потрібно визначити потужність компенсувальних пристроїв і у вузлах 1 і 2 виходячи із умов мінімуму дисконтованих витрат

Вихідні дані: напруга схеми . Опори ліній , , реактивне навантаження вузлів 1 і 2 і .

Розв’язання

Цільова функція дисконтованих витрат включає капіталовкладення на встановлення компенсуючих пристроїв, експлуатаційні витрати та вартість втрат активної електроенергії в схемі, плату за перетоки реактивної електроенергії:

Після зведення до спільних множників, отримаємо:

де

Для розв'язання задачі вибираємо метод покоординатного спуску. Визначимо часткові похідні цільової функції по змінних і :

Приймаємо початкові наближення: , . Для даних величин визначимо значення цільової функції та її часткових похідних:

Очевидно, що в напрямку змінної цільова функція спадає швидше, ніж в напрямку змінної , оскільки

В напрямку змінної і почнемо ”спуск”.

Приймемо величну кроку . Перше наближення (перший крок) буде , кВАр. Значення цільової функції Аналогічно виконуємо наступні кроки.

Дев’ятий крок: , кВАр. Значення цільової функції

Десятий крок: , кВАр. Значення цільової функції

Очевидно, що ”спуск” по координаті доцільно зупинити, оскільки , і повернутись до значень змінних , кВАр, отриманих на дев’ятому кроці.

Виконаємо новий крок в напрямку другої змінної : , кВАр. Значення цільової функції , кВАр. Значення цільової функції , кВАр.

Подальше переміщення в напрямку змінної недоцільне, оскільки .

Далі знову продовжуємо переміщатись по змінній . Тоді отримаємо оптимальну точку з координатами кВАр, кВАр, яка знаходиться в області мінімуму цільової функції . При прийнятій довжині кроку не можливо отримати більш точніший розв'язок.

В додатку Д.4 наведено розв’язання цієї нелінійної задачі за допомогою програмного забезпечення Excel. Результати розв’язку наступні:

кВАр, кВАр,

Задача 5

Для заданої схеми електропостачання (рис. 7.2) потрібно розподілити між вузлами 1, 2 і 3 компенсуючі пристрої сумарною потужністю 1000 кВАр. Критерій оптимальності – мінімум втрат активної потужності.

Вихідні дані:

напруга схеми ; опори ліній , , ; реактивне навантаження вузлів 1,2 і 3 .

Розв’язання.

Згідно з вихідними даними, що підлягають мінімізації, втрати активної потужності (цільова функція) визначається співвідношенням:

де

Сумарна потужність джерела реактивної потужності обмежується умовою:

Згідно з виразом (2.21) функція Лагранжа матиме вигляд:

Для знаходження мінімуму функції Лагранжа визначимо її часткові похідні по всіх змінних і прирівняємо їх до нуля:

Отримана система лінійних рівнянь легко розв’язується. Із 1-го рівняння системи визначається величина множника Лагранжа:

Підставимо в 2-ге рівняння системи, отримаємо:

- .

кВАр.

Підставимо в третє рівняння системи, отримаємо:

-0,012

кВАр.

З четвертого рівняння системи кВАр.

З першого рівняння системи знайдемо величину множника Лагранжа

Згідно з виразом цільової функції мінімальні втрати активної потужності в схемі електропостачання при умовах сумарної потужності компенсуючих пристроїв величиною кВАр складатимуть

Задача 6

Скласти математичну модель для визначення в схемі електропостачання оптимального вузла встановлення компенсуючого пристрою, заданої потужності та розв’язати її на ЕОМ з використанням математичного апарату програми Excel.

Критерій оптимальності – мінімум втрат активної потужності в схемі.

Вихідні дані:

напруга схеми ; опори ліній , , ; реактивне навантаження вузлів 1,2 і 3 ;

Потужність компенсуючих пристроїв кВАр.

Розв’язання. У заданій схемі є три вузли 1, 2, і 3, в кожному з яких можна встановити компенсуючий пристрій. Позначимо змінні , і потужності компенсуючих пристроїв, що розміщені відповідно у вузлах 1, 2 і 3. Це дискретні змінні, кожна з яких може приймати два значення 0 або 1000 кВАр.

Кожній змінні , і поставимо у відповідність двійкову змінну , і .

Цільова функція - це втрати потужності в схемі, матиме вигляд:

де (i=1,2,3).

Вираз для втрат потужності передбачає можливість встановлення компенсуючих пристроїв у кожному із трьох вузлів. Однак залежно від величини двійкової змінної компенсуючих пристроїв у вузлі і потрібно встановити або не потрібно встановлювати при .

Складемо систему обмежень. Оскільки, компенсуючий пристрій може бути встановлений тільки в одному вузлі, сума двійкових змінних повинна дорівнювати 1.

де , і - двійкові.

Величина дискретної змінної залежатиме від значення відповідної двійкової змінної . Змінна при і при . Запишемо дані умови:

Граничні умови не записуємо, оскільки маємо тільки дискретні і двійкові змінні.

Результати розв’язку задачі за допомогою програмного забезпечення Excel наведені в додатку Д.5:

, кВАр, , Вт.

Таким чином, для забезпечення мінімальних втрат потужності компенсуючий пристрій потужністю 1000 кВАр слід встановити у вузлі 2 схеми електропостачання.

Задача 7

Скласти математичну модель для визначення оптимальної потужності компенсуючих пристроїв у вузлі 2 схеми електропостачання та розв’язати її на ЕОМ з використанням математичного апарату програми Excel.

Критерій оптимальності – мінімум втрат активної потужності.

Вихідні дані беремо з задачаі 6. Потужність компенсуючих пристроїв може приймати наступні дискретні значення: 1100, 1200, 1300 кВАр.

Розв’язання. В даному прикладі маємо одну дискретну змінну – потужність компенсуючих пристроїв в 2-му вузлі. Дана змінна може приймати три дискретних значення , , кВАр. Кожному значенню дискретної змінної поставимо у відповідність двійкову змінну , , .

Цільова функція - це втрати потужності в схемі, матиме наступний вигляд (сума втрат на кожній ділянці)

де (i=1,2,3).

Розглянемо обмеження. Оскільки дискретна змінна (потужність КБ) може мати тільки одне значення, то сума двійкових повинна дорівнювати 1.

де , і - двійкові.

Інших обмежень немає.

Граничні умови не записуємо, оскільки маємо тільки дискретні і двійкові змінні.

Результати розв’язку задачі з використанням Excel:

, кВАр, , Вт.

Для забезпечення мінімальних втрат потужності в схемі електропостачання величину потужності компенсуючих пристроїв у вузлі 2 слід прийняти рівною 1200 кВАр.