Построение плоских геомет­рических фигур в аксонометрии

Основанием ряда геометрических тел явля­ется плоская геометрическая фигура: много­угольник или окружность. Чтобы построить геометрическое тело в аксонометрии, надо уметь строить прежде всего его основание, т. е. плоскую геометрическую фигуру. Для примера рассмотрим построение плоских фигур в пря­моугольной изометрической и диметрической проекции. Построение многоугольников в аксо­нометрии можно выполнять методом коорди­нат, когда каждую вершину многоугольника строят в аксонометрии как отдельную точку (построение точки методом координат рассмотрено в § 26), затем построенные точки соеди­няют отрезками прямых линий и получают ло­маную замкнутую линию в виде многоугольни­ка. Эту задачу можно решить иначе. В пра­вильном многоугольнике построение начинают с оси симметрии, а в неправильном много­угольнике проводят дополнительную прямую, которая называется базой, параллельно одной из осей координат на ортогональном чертеже.

Построение правильного шестиугольника в изометрической проекции начинается с опреде­ления положения осей симметрии фигуры отно­сительно осей координат той плоскости проек­ций, в которой лежит шестиугольник. Предпо­ложим, что два шестиугольника А и В (рис. 246) на ортогональном чертеже находят­ся в плоскости V и их оси симметрии распола­гаются параллельно осям Oz и Ох. В аксоно­метрии в плоскости xOz проводят оси симмет­рии шестиугольников параллельно осям Oz и Ох. Центры шестиугольников располагают произвольно, так как рассматривается построе­ние вершин относительно осей симметрии. На ортогональном чертеже шестиугольника А на оси симметрии, параллельной Oz, лежат вер­шины 1 и 4 а на чертеже шестиугольника В на этой же оси расположены середины сторон 2 3 и 5 6. Расстояния между вершинами 1 и 4 и се­рединами сторон 2 3 и 5 6 измеряют от точек О₁ и О ₂ на эпюре. Эти расстояния в изометрии откладывают от точек О₁ и О₂ (рис. 246,6).

На второй оси симметрии шестиугольника А, расположенной параллельно оси Ох, лежат середины сторон 2 3 и 5 6_У а шестиугольника В — вершины 1 и 4. Расстояния между верши­нами и серединами сторон измеряют на орто­гональном чертеже и соответственно переносят в изометрию.

Далее через середины сторон в изометрии проводят прямые линии параллель­но направлению оси Oz для шестиугольника А и параллельно направлению оси Ох для ше­стиугольника В. На этих прямых откладывают отрезки, которые равны стороне шестиуголь­ника, и получают точки (вершины) 2₁, 3₁, 5₁, 6₁, 2₂, 3₂, 5₂, 6₂,. Для этого на ортогональном чертеже измеряют расстояние от середины сто­рон до ближайшей вершины и переносят в аксонометрию, где откладывают от соответст­вующих точек в обе стороны. Построенные точки последовательно соединяют отрезками прямых линий и получают изображения шести­угольников в аксонометрии. На рис. 247 по­строены шестиугольники в плоскостях V, Н и W.

В плоскости Н оси симметрии располагают­ся параллельно оси Ох н Оу, а в плоскости W — параллельно осям Oz и Оу₁.

Построение неправильного многоугольника в изометрической проекции начинают с выбора базовой линии, лежащей в плоскости много­угольника и параллельной одной из осей коор­динат. Этой прямой могут быть сторона мно­гоугольника, диагональ или прямая, проведен­ная через вершину любого угла в плоскости многоугольника параллельно одной из осей координат плоскости, в которой лежит фигура.

Так, на рис. 248, а ортогонального чертежа через вершину С проведена базовая прямая, которая для плоскостей xOz и zOy (рис. 248, б и в) располагается параллельно направ­лению оси Oz, а для плоскости хОу (рис. 248, г) — оси Оу.

На этом же ортогональном чертеже через вершины остальных углов многоугольника пер­пендикулярно к этой прямой проведены линии до пересечения в точках 1, 2 и 3. Начинают построение заданной фигуры в аксонометрии с проведения прямой СЗ в каждой плоскости параллельно направлению той оси, которая выбрана по условию. На прямой СЗ произ­вольно выбирается точка, которая будет вер­шиной С. От точки С откладывают расстояния до точек 1, 2 и З измеренные на ортогональ­ном чертеже, и через эти точки проводят пря­мые параллельно направлению второй оси пло­скости. Строят вершины А, В и D многоуголь­ника. Для этого на ортогональном чертеже измеряют расстояния от точек 1, 2 и 3 до вер­шин А, В и D и откладывают их в аксономет­рии. Полученные точки последовательно сое­диняют отрезками прямых, получают заданный многоугольник в аксонометрии.

Построение многоугольника в прямоуголь­ной диметрической проекции выполняют так же, как в прямоугольной изометрической про­екции, но отрезки, параллельные оси Оу в диметрии, уменьшают в два раза, учитывая коэф­фициент искажения по оси Оу.

Рассмотрим построение треугольника ABC в прямоугольной диметрии по координатам его вершин.

Треугольник, расположенный в плоскости V, с координатами вершин Х_А = 45, Y_A = 0, Z_A = 15, Х_В = 30, Y_B = 0, Z_B = 45, Х_с = 15, Y_c = 0, Z_c = 15 построен на рис. 249, а. Его построение начинают с нахождения вторичных осевых проекций вершин. Для этого от точки О по оси Ох откладывают координаты Х_А Х_в, Х_с вершин треугольника и получают точки а_х> Ь_ХУ с_х. От них на прямых, параллельных оси Oz, откладывают координаты Z_A Z_В Z_С и получают аксонометрические изображения вер­шин треугольника. Затем вершины соединяют.

Построение треугольников с координатами вершин Х_А = 0, Y_A= 15, Z_A = 15, Х_В = 0, Y_B = 30, Z_B = 45, Х_с = 0, Y_c = 45, Z_c = 15, лежащих в плоскости W (рис. 249, б) и в плоскости Н (рис. 249, в), аналогично. При этом по оси Оу и в том, и. в другом случае откладывают половину координаты Y, учиты­вая коэффициент искажения. Форма треуголь­ника в этих плоскостях искажается.

Изображение окружности в прямоугольной изометрической проекции во всех трех плоско­стях проекций представляет собой одинаковые по форме эллипсы.

Направление малой оси эллипса совпадает с направлением аксонометрической оси, перпен­дикулярной той плоскости проекций, в которой лежит изображаемая окружность. Так, если изображаемая окружность лежит в плоскости Н или в плоскости, параллельной Н. направление малой оси будет совпадать с на­правлением оси Oz (рис. 250). Если окруж­ность расположена в плоскости V или в плос­кости, параллельной ей, направление малой оси будет совпадать с направлением оси Оу.

Если окружность расположена в плоскости W или в плоскости, параллельной ей, направле­ние малой оси будет совпадать с осью Ох.

Большую ось эллипса проводят перпенди­кулярно малой оси. Величина малой оси эллип­са берется равной 0,71d, а величина большой оси—1,22 d, где d — диаметр изображаемой окружности.

При построении эллипса, изображающего окружность небольшого диаметра, достаточно построить восемь точек, принадлежащих эл­липсу (рис. 250). Четыре из них являются концами осей эллипса (А, В, С, D), а четыре других (N₁, N₂, N ₃, N ₄) расположены на прямых, параллельных аксонометрическим осям, на расстоянии, равном радиусу изображаемой окружности от центра эллипса.

Замена эллипса овалом в прямоугольной изометрической проекции применяется для того, чтобы упростить построение.

Овал состоит из четырех сопрягающихся дуг: двух больших и двух малых. Для его построе­ния необходимо определить четыре точки, че­рез которые проходят большие дуги, и четыре центра дуг. На рис. 251 показаны три случая расположения овала относительно аксономет­рических осей. В плоскости хОу построение доведено до конца, в двух других плоскостях построение остановлено на определенном этапе.

Построение овала начинают с проведения через центр овала (точка О) прямых, парал­лельных осям Ох и Oz для плоскости xOz; Oz и Оу для плоскости zOy; Ох и Оу для плос­кости хОу. Затем проводят малую и большую оси овала. Расположение осей овала относи­тельно аксонометрических осей и взаимное рас­положение большой и малой осей остаются такими же, как у эллипса, а размеры осей определяют построениями.

Из центра О₁ описывают окружность радиу­сом, равным радиусу изображаемой окружно­сти. В пересечении окружности с проведенными параллельно аксонометрическим осям прямы­ми получают четыре точки, через которые пройдут большие дуги, а на прямой, на кото­рой находится малая ось овала, получают точ­ки/и 2, которые являются центрами боль­ших дуг.

Радиус большой дуги R равен расстоянию от точки 1 или 2 до точек, в которых проведенная окружность пересекла прямые, параллельные аксонометрическим осям (рис. 251, плоскость xOz).

Дальнейшее построение овала (проведение малых дуг) показано на рис. 251 в плоскости zOy. Проведя большие дуги, построили малую ось овала АВ. Из центра О₁ радиусом, равным половине отрезка АВ, проводят дуги до пересе­чения с большой осью овала, получают точки 3 и 4. Эти точки будут центрами малых дуг овала.

Нахождение точек сопряжения больших и малых дуг показано на рис. 251 в плоскости хОу. Точки сопряжения находятся на прямых, проведенных через центры больших и малых дуг 1 3, 1 4, 2 3 и 2 4 в пересечении их с большими дугами. Найдя точки сопряжения К₁ К ₂, К ₃ и К ₄, обводят сначала большие, а затем малые дуги овала.

Замена эллипса овалом в прямоугольной диметрической проекции. В прямоугольной диметрии так же, как и в изометрии, малая ось эллипса параллельна той аксонометрической оси, которая перпендикулярна плоскости про­екций, где расположена изображаемая окруж­ность. В плоскости хОz малая ось располага­ется в направлении оси Оу, в плоскости хОу — в направлении оси Ог, в плоскости zOy — в направлении оси Ох. Большую ось эллипса проводят перпендикулярно малой оси. Постро­ение начинают с центра овала (точки O₁). Затем через точку 0«проводят малую и боль­шую оси и прямые, параллельные аксономет­рическим осям, которые определяют данную плоскость. В плоскости xOz эти прямые про­водят параллельно осям Оz и Ох, в плоскости хОу — осям Ох и Оу, в плоскости zOy — осям Ог и Оу.

Рассмотрим построение овала в плоскости xOz (рис. 252). Из точки 0\ на прямых, парал­лельных осям Оz и Ox, откладывают отрезки, равные радиусу заданной окружности, полу­чают точки К₁ К ₂, К ₃ и К ₄, которые будут точками касания дуг овала. Затем строят цент­ры 1 и 2 малых дуг. Для этого от точки О₁ в обе стороны по большой оси откладывают от­резки, равные 0,1D, где D — диаметр задан­ной окружности. Из центра 1 проводят дугу от точки К₁ до точки K ₂, а из центра 2 — от точки K ₃ до точки К₄. Известно, что точки касания лежат на прямых, соединяющих центры дуг. Значит, если точку касания K₂ соединить пря­мой линией с центром 1 и продолжить эту пря­мую до пересечения ее с малой осью, то полу­чим центр большой дуги (точка 3).

Второй центр (точка 4) лежит на прямой, проведенной через точки К₄ и 2 (рис. 252).

Из центров 3 и 4 проводят большие дуги овала от точки К₂ до точки К з и от точки К₁ до точки К₄. Затем овал обводят циркулем с мягким грифелем. На рис. 252 на плоскости xOz показано слева построение центров 1, 2, 3 и 4, а справа — построенный и обведенный овал.

На рис. 252 в плоскости хОу приведено по­строение овала способом, предложенным пре­подавателем МИЭМ Ю. С. Удруговым. Из точ­ки О₁ радиусом, равным ¹/₂ радиуса изобра­жаемой окружности, учитывая коэффициент искажения по оси Оу, описывают дугу. На пря_: мой, параллельной оси Оу, получают отрезок МN, равный ¹/₂ диаметра изображаемой ок­ружности, и точку Е на малой оси. Для нахож­дения центров больших дуг овала 1 и 2 от точ­ки О₁ вверх и вниз по направлению малой оси откладывают отрезки, равные двум отрезкам EN. Для нахождения центров малых дуг ова­лов 3 и 4 от точки О₁ влево и вправо отклады­вают отрезки, равные отрезку EN. Большие дуги проводят из центра / через точку N и из центра 2 через точку М. Точки касания К₁, К₂, К₃ и К₄ лежат на прямых, проведенных через точки 1 и 3, 1 и 4,2 и 3, 2 и 4. Малые дуги прово­дят из точки 3 от точки К₁ до точки К₂ и из точки 4 — от точки К₃ до точки К₄. Построение всех необходимых для вычерчивания овала то­чек в плоскости хОу показано на рис. 252 слева, а справа изображен построенный и обведенный овал.

В плоскости zOy построение овала выполня­ют так же, как и в плоскости хОу. Направле­ние малой оси в этой плоскости перпендику­лярно оси Ох.

Косоугольные аксонометрические проекции рекомендуется применять в тех случаях, когда окружности на изображаемых деталях распо­ложены так, что все они находятся в положении, параллельном какой-либо плоскости про­екций. Тогда детали располагают так, чтобы окружности изображались в аксонометриче­ской плоскости без искажения, т. е. как окруж­ности. В косоугольных аксонометрических про­екциях изображают также детали, имеющие такое взаимное расположение граней, что при изображении в прямоугольных аксонометриче­ских проекциях они сильно искажаются. В этих случаях подбирают такую косоугольную проекцию, которая дает изображение детали без искажения.,

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Как располагаются большие и малые оси эллипсов в прямоугольных аксонометрических проекциях?

2. Что называют вторичной проекцией?

3. На каких прямых линиях можно построить восемь точек, принадлежащих эллипсу, изображающему окруж­ность, расположенную в плоскостях V, Н и W, в прямо­угольной изометрической проекции?

4. Чему равна величина большой и малой оси эллипса в изометрии?