Релятивистская механика

32. Зависимость длины и времени от скорости

; ,

где v – скорость движущегося тела (частицы); с – скорость света в вакууме;

- скорость тела, выраженная в долях скорости света в вакууме; - длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится; - длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется; - «собственное время», т. е. измеренное по часам, движущимся вместе с телом;

t – время, измеренное в системе отсчета, относительно которой тело движется.

33. Релятивистский закон сложения скоростей

,

где u – скорость тела в движущейся системе отсчета; - скорость тела относительно неподвижной системы отсчета; v – скорость движения подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной.

34. Релятивистская масса

.

35. Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

или

где - энергия покоя частицы; - полная энергия;

, T- кинетическая энергия частицы.

36. Кинетическая энергия релятивистской частицы

или .

37. Импульс релятивистской частицы

или

38. Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы:

39. Связь между кинетической энергией и импульсом релятивистской частицы:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Пример 1. Две материальные точки движутся по прямой согласно уравнениям: и , где ; ;

; ; ; . В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорения и этих точек в момент времени t = 3 с.

Решение. Мгновенная скорость есть производная от координаты по времени. Получим выражение для и :

(1)

(2)

Определим момент времени, в который , для этого приравняем правые части выражений (1) и (2):

откуда

(3)

Подставляя числовые значения в формулу (3), получим:

ускорение точки найдем, взяв производную от скорости по времени:

(4)

(5)

Из выражений (4) и (5) видно, что движение обеих точек происходит с постоянным ускорением:

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону:

где А=12 рад; B=18 рад/с; С= - 4 рад/с²

Определить нормальное и тангенциальное ускорение точки, расположенной на расстоянии r = 0.2 м от оси вращения в момент t = 2 с

Решение: Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

, , (1)

где ω – угловая скорость тела; β – его угловое ускорение.

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по времени

(2)

В момент времени t = 2 с угловая скорость

.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

Подставляя значения β, ω, r в формулу (1), получаем:

Пример 3. Человек массой m = 60 кг стоит на тележке массой М = 20 кг. Найти скорость u тележки, если человек будет двигаться по ней с относительной скоростью v = 2 м/с (трением между тележкой и поверхностью, по которой она движется, пренебречь).

Решение: Выберем направление оси х совпадающим с направлением движения человека. Рассмотрим систему, состоящую из человека и тележки.

В горизонтальном направлении внешних сил нет, систему считаем замкнутой и закон сохранения импульса запишем в проекциях на ось х в системе отсчета, связанной с Землей:

(1)

где v – скорость человека относительно тележки, (v - u) – скорость человека относительно Земли.

Из выражения (1) находим:

(2)

Подставляя числовые данные в формулу (2), имеем

.

Пример 4. Тележка с песком, имеющая массу М = 40 кг, движется горизонтально со скоростью v = 5 м/с. Камень массой m = 10 кг попадает в песок и движется вместе с тележкой. Найти скорость тележки после попадания камня: а) падающего по вертикали; б) летящего горизонтально навстречу тележке.

Решение: а) Рассмотрим систему,состоящую из тележки и камня. Внешняя сила (сила тяжести) вертикальна, поэтому по отношению к вертикальному движению система не замкнута и закон сохранения импульса неприменим. В горизонтальном направлении внешних сил нет и закон сохранения импульса выполняется в проекции на направление движения. За положительное направление оси х примем направление движения тележки.

После вертикального падения камня скорость системы уменьшается только в связи с увеличением массы. Закон сохранения импульса для данного случая имеет вид:

(1)

откуда

(2)

после подстановки числовых значений в выражение (2), получим:

б) Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось х для случая, когда камень летит горизонтально со скоростью v₁ = 10 м/с и застревает в песке:

(3)

откуда

(4)

Произведем вычисления u:

Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 10 г поднялась на высоту h = 10 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение: Система пуля – Земля (вместе с пистолетом) является замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы – силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия Е₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

Е₁ = Е₂ или Т₁ + П₁ = Т₂ + П₂ (1)

где Т₁, Т₂; П₁, П₂ – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули и в начальном, и в конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид:

П₁ = П₂ (2)

Если потенциальную энергию в поле сил тяготения Земли на ее поверхности принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е.

,

а в конечном состоянии - потенциальной энергии пули на высоте h, т. е.

Подставив выражения П₁ и П₂ в формулу (2), найдем , откуда:

(3)

Подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

Пример 6. Молот массой m = 5 кг, двигаясь со скоростью v = 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна М = 95 кг. Считая удар неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Определить КПД удара.

Решение: Считаем систему молот – изделие – наковальня замкнутой во время удара, когда силы ударного взаимодействия F_y значительно превышают равнодействующую R сил тяжести и силы давления N опоры:

R = N – (M + m)g. К такой системе можно применить закон сохранения импульса.

Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, поэтому энергия, затраченная на деформацию, Е_деф равна разности значений механической энергии системы до и после удара:

(1)

где u – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Ее найдем на основании закона сохранения импульса

(2)

откуда

(3)

Подставив в формулу (1) значение u из выражения (3), определим Е_деф

(4)

Так как полезной считается энергия, затраченная на деформацию, то КПД

(5)

Подставив числовые значения заданных величин в формулу (5), получим:

Из выражения (5) видно, что КПД удара тем больше, чем больше масса наковальни по сравнению с массой молота.

Пример 7. Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой n = 12 с^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент М и число оборотов N, которое сделает маховик до полной остановки.

Решение: Для определения тормозящего момента М применим основное уравнение динамики вращательного движения:

(1)

где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; Δω – изменение угловой скорости за промежуток времени Δt.

По условию задачи, Δω = - ω₀, где ω₀ – начальная скорость, так как конечная угловая скорость равна нулю (ω = 0).

Выразим начальную скорость через частоту вращения маховика

(2)

тогда

Момент инерции маховика будет рассматриваться как для обруча:

(3)

где m – масса маховика; R – его радиус.

После подстановки выражения (3) в формулу (1), получим:

откуда

(4)

Угол поворота φ за время Δt до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

(5)

где β – угловое ускорение.

По условию задачи

; ;

Тогда выражение (2) может быть записано

Так как , , то число полных оборотов

(6)

Проверяя вычисления по формулам (5) и (6), имеем:

Пример 8. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n₁ = 0.5 с^-1. Момент инерции J₀ человека относительно оси вращения равен 1.6 кг · м². В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m = 2 кг каждая. Расстояние между гирями l₁ = 1.6 м. Определить частоту вращения n₂ с человеком, когда он опустит руки и расстояние между гирями станет равным 0.4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

Решение: Человек, держащий гири, составляет вместе со скамьей замкнутую систему (предполагается, что моменты всех внешних сил – сил тяжести и реакции, действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными, трением об ось пренебрегаем).

В замкнутой системе выполняется закон сохранения момента импульса, который запишется в виде:

(1)

где J_1, ω₁ – момент инерции человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J_2, ω₂ - момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками.

Отсюда

(2)

Выразив в этом уравнении угловые скорости ω₁ и ω₂ через частоты вращения n₁ и n₂ (ω = 2πn) и сократив на 2π, получим

(3)

Момент инерции системы равен сумме момента инерции тела человека J₀ и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше их расстояния до оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки:

(4)

Следовательно,

;

; (5)

где m – масса каждой из гирь; l₁, l₂ – первоначальное и конечное расстояния между гирями.

Подставляя выражения (5) для J₁ и J₂ в уравнение (2), получим

(6)

Подставив числовые значения в формулу (6), найдем:

Пример 9. Протон имеет импульс р = 988 МэВ/с. Какую кинетическую энергию необходимо сообщить протону, чтобы его импульс возрос вдвое.

Решение: Сравнив импульс протона с его комптоновским импульсом

р₀ = m₀с = 938 МэВ/с, видим, что р > р₀, т. е. для решения необходимо пользоваться формулами релятивистской механики.

Связь между полной энергией и импульсом частицы имеет вид:

(1)

где Е – полная энергия, Е = Е₀ + Т; Е₀ – энергия покоя; Е₀ = m₀c²; Т – кинетическая энергия частицы.

Определим Т из выражения (1)

(2)

По условию импульс частицы возрастает вдвое, т. е. р₂ = 2р₁.

Следовательно, протону необходимо сообщить дополнительную кинетическую энергию ΔТ = Т₂ – Т₁,

где

;

(3)

Так как значения р₁, Е₀ заданы во внесистемных единицах, то их необходимо перевести в систему СИ, учитывая, что 1 МэВ = 1,6 · 10^-13 Дж, получим

р₁с = 988 · 1.6 · 10^-13 = 1.58 · 10^-10 Дж

р₂с = 2 · 1.58 · 10^-10 = 3.16 · 10^-10 Дж

Е₀ = m₀c² = 938 МэВ = 1.5 · 10^-10 Дж.

Подставляя числовые значения в формулу (3), имеем

Пример 10. С какой скоростью должна быть выброшена с поверхности Солнца частица, чтобы она могла уйти за пределы гравитационного поля Солнца.

Решение. Систему частица – Солнце, в которой действуют гравитационные силы (консервативные), можно считать замкнутой. Используем в решении закон сохранения механической энергии. В качестве инерциальной системы отсчета выберем систему отсчета, связанную с центром Солнца.

Запишем закон сохранения механической энергии:

Т₁ + П₁ = Т₂ + П₂ (1)

Где Т₁, П₁ и Т₂, П₂ – кинетическая и потенциальная энергия системы частица – Солнце в начальном (на поверхности Солнца) и в конечном (на расстоянии r = ∞) состояниях.

В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Солнца равна нулю, поэтому Т₁ – это начальная кинетическая энергия частицы:

(2)

Потенциальная энергия системы в начальном состоянии

(3)

По мере удаления частицы от поверхности Солнца ее кинетическая энергия убывает (Т₂→0), потенциальная энергия при r = ∞ достигает значения П₂ = 0.

Другими словами, чтобы удалить тело за пределы гравитационного поля Солнца, ему нужно сообщить кинетическую энергию, численно равную работе против сил тяжести при движении тела от r = R_с до r = ∞, т. е.

Подставляя выражение Т_1, П₁, Т₂ , П₂ в (1), получим

,

отткуда

(4)

что совпадает с выражением для второй космической скорости.

Здесь g_c = GM_c/R_c² – ускорение свободного падения у поверхности Солнца.

Подставляя числовые значения гравитационной постоянной G = 6.67 · 10^-11 м³/(кг·с²), массы Солнца М_с = 1.98 · 10³⁰ кг, радиуса Солнца R_c = 6.95 · 10⁸ м, в выражение (4) с учетом (5), получим:

;

Пример 11. К несовместимой пружине, коэффициент упругости которой k = 200 Н/м, прикреплен груз массой m = 1 кг. Груз смещен на 10 см от положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить наибольшее и наименьшее ускорение груза. Трением пренебречь.

Решение. Под действием силы упругости груз совершает свободное гармоническое колебание, уравнение которого запишем в виде:

, (1)

где А₀ – амплитуда колебания, ω – циклическая частота. Продифференцировав выражение (1) по времени, определим скорость груза

, (2)

а после дифференцирования скорости по времени, ускорение

. (3)

Так как

, (4)

то ускорение α можно записать в виде:

(5)

Ускорение имеет максимальное значение при x = А₀, т. е. при наибольшем отклонении от положения равновесия:

(6)

В положении равновесия, при х = 0, ускорение = 0. Подставляя числовые значения в выражение (6), получим:

Пример 12. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

, (1)

, (2)

где А₁ = 1 см; ω₁ = π с^-1; А₂ = 2 см; ω₂ = π/2 с^-1.

Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла:

Используя это соотношение и отбросив размерности х и y, можно написать:

;

откуда

или . (3)

Выражение (3) есть уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси ОХ равна 1, а по оси ОУ – 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от - 1 до +1, а ординаты – от - 2 до +2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию | x | ≤ 1:

х		х
-1			±1.41
-0.75	±0.71	0.5	±1.73
-0.5	±1		±2

Начертив координаты оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд.

Далее определим направление движения точки. Из уравнений(1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Т_х = 2 с, а по вертикальной оси Т_у = 4 с. Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание по оси ОХ, она совершает только половину полного колебания по оси ОУ. В начальный момент (t = 0) имеем: x = 1 у = 2 (точка находится в положении 1). При t = 1 с получим: x = - 1 и у = 0 (точка находится в вершине параболы). При t = 2 с получим: х = 1 и у = - 2 (точка находится в положении 2). После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Пример 13. Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью υ = 100 м/с. Наименьшее расстояние Δх между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить период колебаний Т и частоту ν.

Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2π. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Δх, колеблются с разностью фаз, равной

. (1)

Решая это равенство относительно λ, получаем:

(2)

По условию задачи Δφ = π. Подставляем значения величин, входящих в выражение (2), получим:

Скорость υ распространения волны связана с λ и Т отношением

, (3)

где ν – частота колебаний.

Из выражения (3): .

После вычислений ν = (100/2)·π = 50 с^-1, а Т = 1/50 с = 0.02 с.