Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B14 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

1. Аргумент логарифма должен быть положительным:

y = log_a f (x) ⇒ f (x) > 0

1. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

1. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача [Пробный ЕГЭ от 7 декабря 2011, 8 вариант]

Найдите наибольшее значение функции:

Решение

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x². Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x² ≥ 0 ⇒ x² + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x₀ = −b/(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x₀ = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x₀, а также на концах ОДЗ:

y(−3) = y(1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Ответ

Задача

Найдите наименьшее значение функции:

y = log _0,5 (6x − x² − 5)

Решение

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x² − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x − x² − 5 > 0 ⇒ x² − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x₀ = −b/(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x₀ = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x₀:

y_min = y(3) = log _0,5 (6 · 3 − 3² − 5) = log _0,5 (18 − 9 − 5) = log _0,5 4 = −2

Ответ −2

Решая задачи B12, многие ученики допускают одну и ту же ошибку. Вместо того чтобы просто подставить коэффициенты в уравнение и найти ответ, они начинают смотреть на единицы измерения — градусы, метры, проценты и т.д.

Нелишним будет напомнить, что B12 — задача с практическим содержанием, и единицы измерения здесь будут всегда. Никакой смысловой нагрузки они не несут, поэтому запомните следующее правило:

Единицы измерения в задаче B12 писать не надо. Если они присутствуют в формуле изначально — удалите их. Все уравнения должны содержать только числа — никаких метров, градусов и рублей.

Так вы сэкономите время и убережете себя от многих ошибок. Заодно получите более «чистое» и наглядное уравнение, которое легче решается.

Задача

Осадная машина метает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полета камня описывается формулой:

y = ax² + bx

где a = −1/50 м⁻¹, b = 1 — постоянные параметры, x — расстояние от машины до камня по горизонтали, y — высота камня над землей.

На каком наименьшем расстоянии от крепостной стены высотой 12 метров надо расположить машину, чтобы камни пролетали над ней на высоте не менее 1 метра? Ответ выразите в метрах.

Решение

Здесь все просто: коэффициенты выражены в метрах, других единиц измерения нет. Поэтому спокойно зачеркиваем подозрительное «м⁻¹» и составляем уравнение.

Правильно

13 = (−1/50) · x² + x;

Неправильно

13 м = (−1/50 м⁻¹) · x² + x.

Задача

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора вычисляется по формуле:

T(t) = T₀ + bt + at²

где T₀ = 1400 К, a = −20 К/мин, b = 150 К/мин².

Известно, что при температуре более 2000 К прибор может испортиться, и его надо отключить. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо отключить прибор.

Решение

По условию, температура измеряется в градусах Кельвина, время — в минутах. Других единиц измерения в задаче нет, дополнительных преобразований не требуется, поэтому подставляем числа в уравнение.

Правильно

2000 = 1400 + 150t − 20t²;

Неправильно

2000 К = 1400 К + 150t − 20t².

Задача

При температуре 0 °С рельс имеет длину l₀ = 12 метров. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону:

l(t°) = l₀ · (1 + a · t°)

где a = 1,2 · 10⁻⁵ (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия).

При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение

В задаче присутствуют сразу три единицы измерения: метры, миллиметры и градусы Цельсия. Переведем миллиметры в метры: 6 мм = 6 · 10⁻³ мм. Это сделано для того, чтобы все длины были в единой системе измерения — метрах.

Кроме того, единицы измерения присутствуют в самой формуле. Непонятно, зачем составители задач пишут l(t°) и at° вместо привычных всем l(t) и a · t. Так что зачеркиваем градусы и подставляем «голые» числа в уравнение:

Правильно

12 + 6 · 10⁻³ = 12 · (1 + 1,2 · 10⁻⁵ · t);

Неправильно

12 м + 6 мм = 12 м · (1 + 1,2 · 10⁻⁵ · t°);
6 мм = 12 м · (1 + 1,2 · 10⁻⁵ · t°).

Задача

Коэффициент полезного действия (КПД) двигателя вычисляется по формуле:

где T₁ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T₂ — температура холодильника (в градусах Кельвина).

Определите наименьшую температуру нагревателя T₁, при которой КПД составит не менее 75%, если температура холодильника T₂ = 300 К. Ответ выразите в градусах Кельвина.

Решение

Итак, в задаче есть две единицы измерения: градусы Кельвина и проценты. Да-да, проценты — тоже единица измерения, и в итоговом уравнении их быть не должно.

Правильно

Неправильно

Задача

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:

P = σST ⁴

где σ = 5,7 · 10⁻⁸ — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.

Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = 4 · 10¹⁰ м², а излучаемая ею мощность P не менее 22,8 · 10²¹ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

Решение

Градусы Кельвина, квадратные метры и ватты — стандартные единицы измерения, которые спокойно можно отбросить.

Правильно

22,8 · 10²¹ = 5,7 · 10⁻⁸ · 4 · 10¹⁰ T ⁴;

Неправильно

22,8 · 10²¹ Вт = 5,7 · 10⁻⁸ · 4 · 10¹⁰ м² · T ⁴.

Думаю, смысл понятен. Множество ошибок допускается из-за того, что вместе с числами ученики подставляют в уравнение единицы измерения. Лишние знаки засоряют решение, снижая его наглядность.

Отдельная тема — экономические задачи, где приходится работать с большими числами. Увидев аббревиатуру «тыс. руб.», многие приписывают к исходным коэффициентам лишние нули, чего делать категорически нельзя. Взгляните на примеры:

Задача

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 200 − 10p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) задается формулой r(p) = q · p.

Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 800 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение

В задаче снова присутствуют две величины: количество товара и его цена. Загадочные «тыс. руб.» являются обычной единицей измерения — такой же, как штуки, метры и градусы. При подстановке в уравнение «тыс. руб.» можно спокойно зачеркнуть — числа при этом не изменятся.

Правильно

800 = (200 − 10p) · p;

Неправильно

800 тыс. руб. = (200 − 10p) · p;
800 000 = (200 − 10p) · p.

Задача

Ежемесячная прибыль фирмы рассчитывается по формуле:

π(q) = q(p − v) − f

Фирма продает свою продукцию по цене p = 1200 руб. за штуку, переменные издержки на ее производство составляют v = 600 руб. за штуку, постоянные издержки f = 1 400 000 руб.

Определите наименьший месячный объем производства q (шт.), при котором прибыль составит не менее 1 000 000 руб. в месяц.

Решение

В принципе, здесь все стандартно: есть цена и объем производства. Смущают разве что большие числа. Все цены даны в рублях, при подстановке в уравнение аббревиатуру «руб.» можно спокойно зачеркнуть.

Правильно

1 000 000 = q · (1200 − 600) − 1 400 000;

Неправильно

1 000 000 руб. = q · (1200 − 600) − 1 400 000 руб.;
1000 тыс. руб. = q · (1200 − 600) − 1400 тыс. руб.;
1 млн. руб. = q · (1200 − 600) − 1,4 млн. руб.