ЗАТВЕРДЖЕНО 7 страница

2. Для кільця множина оборотних елементів , що випливає з таблиці Келі.

Приклад 7. Знайдіть усі підкільця кілець , і .

Розв’язок. Будь-яка підгрупа адитивної групи кільця є підкільцем кільця . Отже, підкільцями кільця є підгрупи , , , ; кільця : , , , , , ; поля : , .

10.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. З'ясуйте, чи утворює кільце множина матриць вигляду відносно матричного додавання та множення.

2. З'ясуйте, які з даних множин є кільцями (але не полями), а які – полями відносно звичайних операцій додавання та множення:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Знайти оборотні елементи у кільці 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Знайти дільники нуля у кільці 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

5. Знайти всі підкільця кілець 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6. Чи буде циклічною група оборотних елементів кільця: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

7. Доведіть, що всі оборотні елементи кільця з одиницею утворюють групу відносно множення.

8. Доведіть, що якщо переставний з , то він переставний з 1) ; 2) ; 3) . Якщо переставний з та , то він переставний з та .

9. Нехай – комутативне кільце. Доведіть, що для будь-яких : .

10. Нехай K – довільне кільце. Доведіть, що якщо , , , то , .

11. Доведіть, що в довільному, не обов'язково комутативному кільці K справедливі рівності:

1. ;

2. ;

12. Доведіть, що якщо , , , то й необоротні.

13. Доведіть, що в кільці матриць тільки всі вироджені матриці є дільниками нуля.

14. Нехай P – поле. Визначте дріб як . Покажіть, що для таких дробів справедливі всі властивості звичайних дробів:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

11 ГОМОМОРФІЗМ КІЛЕЦЬ. ІДЕАЛИ

11.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з конкретними прикладами гомоморфізмів кілець; вивчити деякі загальні властивості гомоморфізмів; ознайомити студентів з конкретними прикладами ідеалів.

11.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

За даною темою студент повинен знати: визначення гомоморфізму кільця, поняття ядра гомоморфізму, ідеалу кільця, мономорфізму, епіморфізму, ізоморфізму кільця [3, c. 178-179].

11.3 Контрольні запитання

1. Що називається гомоморфізмом кільця?

2. Що називається лівим (правим) ідеалом?

3. Що називається двостороннім ідеалом?

11.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Нехай . Доведіть, що відображення – гомоморфізм. Знайдіть його ядро.

Розв’язок. Перевіримо виконання умов: ; .

Нехай й , причому . Тоді й .

Знайдемо . Тоді . З іншої сторони . Таким чином, .

Виконано умови й , отже – гомоморфізм.

Знайдемо ядро гомоморфізму .

Приклад 2. Довести, що множина в кільці є двостороннім ідеалом.

Розв’язок. Підкільце кільця називається лівим (правим) ідеалом, якщо

.

Нехай .

. є лівим ідеалом.

. є правим ідеалом. Якщо лівий та правий ідеали співпадають, то це двосторонній ідеал.

Приклад 3. Перевірити, чи буде множина ідеалом у кільці .

Розв’язок. Нехай , . Тоді . А також . Множина не є ідеалом в кільці .

11.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Перевірте, чи є дані відображення гомоморфізмами кілець:

а). , , де ;

б) ;

в) , де .

2. Доведіть зазначену ізоморфність полів:

а) , б) .

3. Знайти всі гомоморфізми кілець: а) ; б) ; в) .

3. Нехай – гомоморфізм. Доведіть, що – ідеал, –

підкільце.

4. Доведіть, що в полі Р є тільки тривіальні ідеали

5. Нехай – анулятор елемента а (правий). Доведіть наступне: 1) А – підкільце; 2) якщо K – комутативне кільце, то А – ідеал.

6. Нехай . Доведіть: а) f – гомоморфізм адитивної групи кільця; б) і – підкільця; в) якщо К – комутативне кільце, то , – ідеали; г) .

7. Знайдіть усі ізоморфізми поля комплексних чисел у себе, що залишають незмінними всі дійсні числа.

8. Чи ізоморфні кільця цілих чисел і парних чисел?

9. З’ясувати, чи буде підкільцем та ідеалом множина матриць в кільці .

10. Знайти всі ідеали кільця верхньотрикутних матриць порядку 2 з цілими елементами.

11. Чи утворюють ідеал необоротні елементи кілець: а) , б) ; в) ; г) .

12 ОПЕРАЦІЇ НАД ІДЕАЛАМИ. ФАКТОР-КІЛЬЦЯ

12.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з операціями над ідеалами; розглянути конкретні приклади фактор-кілець; установити деякі властивості фактор-кілець.

12.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

За темою студент повинен знати: способи проведення операцій над ідеалами; визначення фактор-кільця, поняття класів лишків по модулю ідеала [3, c. 178-183; 444-445].

12.3 Контрольні запитання

1. Що називається фактор-множиною?

2. Що називається фактор-групою?

3. Що називається фактор-кільцем?

12.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. У кільці знайдіть ідеал, породжений множиною 1) , 2) .

Розв’язок. В комутативних кільцях ідеал, породжений елементом знаходиться за правилом .

1) .

2) .

Приклад 2. У кільці знайдіть породжувальний елемент ідеалу .

Розв’язок. .

Приклад 3. У кільці знайдіть ідеал, породжений елементами 0, 2, 3.

Розв’язок. . . .

Приклад 4. Знайдіть класи лишків кільця за ідеалом і відповідне фактор-кільце. Складіть таблиці Келі для операцій додавання й множення у цьому фактор-кільці і з'ясуєте, чи є воно полем.

Розв’язок. Суміжний клас адитивної групи кільця за підгрупою називається класом лишків за модулем ідеалу (коротше, за ідеалом ).

Ідеал, породжений елементом 4, має вигляд . Суміжні класи адитивної групи кільця за ідеалому :

,

,

,

.

У кожен суміжний клас (клас лишків) за модулем ідеалу входять елементи, які мають однаковий залишок при діленні на . Фактор-кільце – це кільце, яке утворене на множині суміжних класів. . Операції в кільці – додавання і множення за модулем . Складемо таблиці Келі.

Фактор-кільце не є полем, тому що не для всіх відмінних від нуля елементів існують обернені (для елемента 2 обернений відносно множення не існує).

Приклад 5. Нехай К – кільце з одиницею. Довести, що фактор-кільце також містить одиницю.

Розв’язок. Нехай . Перевіримо, що лишки (клас суміжності) є одиницею фактор-кільця. Дійсно, нехай – довільний лишок. Тоді ; .

12.5 Задачі для самостійного розв’язку

1. У кільці знайдіть породжувальний елемент ідеалів: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

2. Знайдіть ідеал, породжений множиною , якщо:

1) у кільці ;

2) у кільці ;

3) у кільці ;

4) у кільці .

3. Чи утворюють ідеали оборотні та необоротні елементи у кільці 1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

4. Знайдіть класи лишків кільця за ідеалами а) ; б) ; в) ; г) і відповідні фактор-кільця. Складіть таблиці Келі для операцій додавання й множення у цих кільцях і з'ясуєте, які з них є полями.

5. Скласти фактор-кільце кільця за ідеалом 1) ; 2) ; 3) . Чи будуть ці фактор-кільця полями?

6. Скласти фактор-кільце кільця за ідеалом 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Чи будуть ці фактор-кільця полями?

7. Чи буде циклічною група оборотних елементів кільця ?

8. Доведіть, що

9. Нехай , – ідеали кільця К. Доведіть, що їхні перетин і добуток також є ідеалами кільця К, до того ж .