ЗАТВЕРДЖЕНО 6 страница

7. Знайдіть усі підгрупи, відмінні від одиничної та всієї групи, які будуть нормальними дільниками у групах: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) (група парних перестановок з чотирьох елементів).

9 ФАКТОР-ГРУПИ

9.1 Мета заняття

Навчити студентів доводити ізоморфність конкретної фактор-групи будь-якій з відомих груп.

9.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

У темі «Операції над групами. Фактор-групи» студент повинен знати поняття фактор-групи, ізоморфізму; вміти застосовувати на практиці теоретичні знання
[3, c. 179-183; 312-313].

9.3 Контрольне завдання

1. Дайте визначення фактор-групи, нормального дільника групи.

9.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел , за підгрупою цілих чисел, кратних чотирьом .

Розв’язок. Фактор-групою називається група, яка побудована на множині суміжних класів. Суміжні класи знайдені у прикладі 2 теми „Суміжні класи”.

,

,

,

.

У першому суміжному класі об’єднані елементи, які мають остачу 0 при діленні на 4, у другому – остачу 1, у третьому – 2, у третьому – 3. Фактор-множина , а операція у фактор-групі – додавання за модулем 4. Складемо таблицю Келі для фактор-групи, щоб перевірити виконання аксіом групи.

Фактор-група циклічна, утворюючі елементи . Порядок фактор-групи 4.

Приклад 2. Знайти фактор-групу групи за підгрупою .

Розв’язок. Для кожного , лівий суміжний клас групи G по H має вигляд – двостороння послідовність із кроком 1. Тоді одна точка такої послідовності лежить в інтервалі , який необхідно вибрати як множину представників. Наприклад, . Суміжний клас має вигляд . Якщо , то представником класу суміжності буде число . Це і є визначена операція. Отримали нескінчену фактор-групу .

Приклад 3. Довести ізоморфність , де – множина комплексних чисел, що лежать на одиничному колі.

Розв’язок. Тут класи суміжності – кола різного радіуса . Як множину представників можна вибрати підгрупу . Задамо відображення вигляду , при якому кожний суміжний клас (коло фіксованого радіуса) відображується в додатне число (радіус). Отже .

Приклад 4. Нехай – група і її одинична підгрупа. Знайти фактор-групи та .

Розв’язок. Як відомо, у будь-якій групі сама група та одинична підгрупа є її нормальними дільниками. Лівостороннє та правостороннє розкладання групи за підгрупою складається з одного суміжного класу , а лівостороннє й правостороннє розкладання групи за підгрупою складається з усіх елементів групи . Множина суміжних класів групи за нормальним дільником з визначеної операцією множення називається фактор-групою і позначається . Таким чином, якщо у групі визначити операцію множення суміжних класів, то , .

Приклад 5. Знайти фактор-групу мультиплікативної групи коренів 6-го степеня з одиниці за підгрупою .

Розв’язок. Елементи групи

, де .

Кількість суміжних класів . Знаходимо їх.

1) ; 2) ; 3) .

Фактор-група . Операція у фактор-групі – множення.

9.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Розгляньте фактор-групу . Доведіть, що операція фактор-групи визначає на наведеній системі залишків за модулем операцію додавання за модулем : .

2. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, кратних чотирьом за підгрупою цілих чисел, кратних дванадцяти . Чи буде фактор-група циклічною? Визначити її порядок.

3. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, кратних трьом за підгрупою цілих чисел, кратних дванадцяти . Чи буде фактор-група циклічною? Визначити її порядок.

4. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, кратних п’ятьом за підгрупою цілих чисел, кратних двадцяти . Чи буде фактор-група циклічною? Визначити її порядок.

5. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, кратних двом за підгрупою цілих чисел, кратних десяти . Чи буде фактор-група циклічною? Визначити її порядок.

6. Знайти фактор-групу мультиплікативної групи коренів 6-го степеня з одиниці за підгрупою .

7. Доведіть, що фактор-група адитивної групи векторів площини, що виходять із початку координат, за підгрупою векторів, що лежать на осі ізоморфна групі векторів, що лежать на осі .

8. Доведіть ізоморфізм зазначених груп:

1) ; 2) ;

3) , де – множина точок, які належать одиничному колу;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

8) ; 9) .

10 ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ КІЛЕЦЬ І ПОЛІВ

10.1 Мета заняття

Розглянути конкретні приклади кілець і полів; навчити студентів виконанню операцій у кільцях, особливо в некомутативних; звернути увагу студентів на специфіку кілець, відмінних від числових кілець, передусім, на наявність дільників нуля.

10.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

За темою «Основні властивості кілець і полів» студент повинен: знати поняття кільця, поля, їхні основні властивості, а також поняття абелевої групи, підкільця, комутативного кільця; вміти роз’язувати задачі за темою [3, c. 172-178].

10.3 Контрольні запитання

1. Що називається кільцем; тілом; полем?

2. У чому відмінність поля від кільця?

10.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. З’ясувати, чи буде множина матриць вигляду

кільцем або полем відносно звичайних операцій додавання й множення матриць.

Розв’язок. Нагадаємо, що непуста множина , на якій задані дві алгебраїчні операції додавання і множення, називається кільцем , якщо виконані три умови:

1) – абелева група;

2) – полугрупа;

3) операції додавання і множення зв’язані дистрибутивним законом:

та .

Якщо у кільці множення комутативне, то кільце називається комутативним. Одиничний елемент за додаванням називається нульом кільця, одиничний елемент за множенням – одиницею кільця.

Поле – це комутативне кільце з одиницею, в якому міститься не менше двох елементів і кожен ненульовий елемент має обернений відносно множення. Тобто щоб алгебраїчна структура була полем , необхідно невиконання умов:

1) – абелева група;

2) – абелева група;

3) операції додавання і множення зв’язані дистрибутивним законом:

та .

Перевіримо . Перевіряємо аксіоми групи:

1) замкненість даної множини матриць відносно додавання:

+ = , тому що та ;

2) властивість асоціативності перевіряти не потрібно, тому що вона справедливі для будь-якої множини матриць ;

3) наявність одиничного елемента . Одиничний елемент – нульова матриця ;

4) наявність оберненого елемента . Обернений елемент – матриця: ;

5) комутативний закон виконується .

Отже – абелева група.

Так само перевіряємо .

1) замкненість даної множини матриць відносно множення:

× = , тому що та .

2) властивість асоціативності перевіряти не потрібно, тому що вона справедлива для будь-якої множини матриць .

3) одиничний елемент – одинична матриця .

4) обернений елемент – обернена матриця

.

Обернені існують для всіх елементів, крім нульової матриці.

5) комутативний закон виконується .

× = .

Отже – абелева група.

Дистрибутивний закон теж виконується. Висновок: - поле.

Приклад 2. Елемент , називається нільпотентним, якщо . Довести, що якщо g нільпотентний, то елемент оборотний.

Розв’язок. Перевіримо, що є оберненим до відносно множення. Дійсно,
, тому що .

Аналогічно . Отже, елемент оборотний (тобто має обернений відносно множення) та елемент .

Приклад 3. Доведіть, що в довільному, не обов'язково комутативному кільці K справедливі рівності:

1. ;

2. ;

3. .

Доведення. Доведемо, що 1. і 2. . Відомо, що . Скористаємося дистрибутивністю множення відносно додавання, одержимо та . Із цих рівностей одержимо та . .

Доведемо, що 3. . Маємо , з огляду, що , далі одержуємо .

Приклад 4. Доведіть, що в кільці з n елементів .

Розв’язок. За додаванням кільце – абелева група. Нехай елемент має порядок . Тоді циклічна підгрупа має порядок . За теоремою Лагранжа порядок підгрупи є дільником порядку групи, тобто .

Отримуємо, .

Приклад 5. Доведіть, що якщо , , , то й необоротні.

Доведення. Нехай , тоді . Використовуючи асоціативність, запишемо , , , що суперечить умові. Отже, елемент необоротний. Аналогічно доводиться, що елемент необоротний.

Приклад 6. Знайдіть всі оборотні елементи кілець:

1) ; 2) .

Розв’язок. 1. Складемо таблицю Келі для операції множення за модулем 7.

З таблиці Келі випливає, що , , , , , , тобто всі елементи, крім нуля, оборотні. Отже, множина оборотних елементів кільця є .