ЗАТВЕРДЖЕНО 4 страница

Розв’язок. Користуючись попереднім прикладом, маємо такі підгрупи:

, , .

Згідно з теоремою Лагранжа, порядок групи ділиться на порядок підгрупи. Порядок групи дорівнює 4. Число 4 ділиться без остачі на 1, 2, 4. Тому будуть підгрупи порядку один (підгрупа ), порядку два (підгрупа ), порядку чотири (підгрупа ).

Приклад 3. Довести, що корені m -го степеня з 1 утворять циклічну групу порядку у групі .

Розв’язок. Нехай – корінь -го степеня з 1. Тоді .
Візьмемо . Відповідно до формули Муавра, . Отже, – утворюючий елемент групи . Оскільки різним відповідають різні , то є різних коренів, звідси випливає, що – циклічна група порядку .

Приклад 4. Довести, що всі підгрупи циклічної групи – циклічні.

Розв’язок. Нехай спочатку G – циклічна група порядку , – будь-який утворюючий елемент G та – будь-яка підгрупа групи . Всі елементи групи G, не рівні , є додатними степенями елемента . Нехай d – найменший з додатних показників k, для якого , а який-небудь елемент із H. Розділимо s на d з залишком, тобто запишемо , . Тоді . Оскільки , тоді . Але та, через мінімальність , . Отже, , тобто – утворюючий елемент підгрупи . Випадок: – нескінченна циклічна група, розібрати самостійно.

Приклад 5. Випишіть всі утворюючі елементи мультиплікативної циклічної групи порядку 10.

Розв’язок. За умовою , тобто . Перевіримо, чи буде елемент утворюючим . Знаходитимемо степені елемента .

, , , . . Елемент не є утворюючим елементом.

Для : , , , , , , , , .

Таким чином, .

Зрозуміло, що не будуть утворюючими елементами циклічної групи. Перевіримо елементи . , . А буде утворюючим елементом групи і також є утворюючим елементом.

5.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Перевірте, що множина утворює циклічну групу відносно операції додавання за модулем m (результат – залишок від ділення на m). Цю операцію позначають .

2. Знайти всі утворюючи елементи групп: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

3. Випишіть всі підгрупи в адитивних групах з операцією додавання за модулем: а) ; б) ; в) ; г) .

4. У мультиплікативній групі комплексних чисел випишіть корені: а) , б) і в) в алгебраїчній формі. Знайдіть всі утворюючі елементи цих груп. Чи є групи циклічними? Випишіть всі підгрупи.

5. Перевірте, що матриці

E= ; A= ; B= ; C=

утворюють циклічну групу за множенням. Знайдіть всі утворюючі елементи. Випишіть всі підгрупи.

6. Доведіть, що множина всіх симетрій 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом, є групою відносно множення симетрій як відображень.

7. З’ясуйте, чи будуть циклічними такі групи. У разі позитивної відповіді вкажіть всі утворюючі елементи. Група симетрій 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом.

8. З’ясуйте, чи будуть циклічними дані групи. У разі позитивної відповіді вкажіть всі утворюючі елементи. Група обертань 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом.

9. Наведіть по два приклади циклічних груп скінченого та нескінченого порядків.

10. У циклічній групі порядку знайти всі елементи , які задовольняють умові , та всі елементи порядку при:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

11. Знайти всі підгрупи в циклічній групі порядку: а) 24; б) 100, в) 360; д) 125.

12. Нехай у деякій неодиничній групі всі неодиничні елементи мають однаковий порядок . Доведіть, що – просте число.

13. Довести, що у будь-якій групі парного порядку є елемент порядку 2.

14. Нехай G – довільна скінчена група порядку . Доведіть, що

15. Покажіть, що якщо – утворюючий елемент підгрупи H циклічної групи G порядку m, то d – дільник m.

16. Покажіть, що якщо d – дільник m, , , то – утворюючий елемент власної підгрупи H циклічної групи G.

17. Нехай g – утворюючий елемент циклічної групи G порядку m. Довести, що якщо – утворюючий елемент , тоді НСД .

6 ПЕРЕСТАНОВКИ

6.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з поняттям перестановки, навчити описувати властивості перестановок.

6.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен мати поняття про перестановку, її порядок, парність, вміти застосовувати теоретичні знання до розв’язання задач [3, c. 146-154].

6.3 Контрольні завдання

1. Дайте визначення перестановки, її порядку, парності.

2. Нехай . Знайти .

6.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Розкладіть перестановку в добуток незалежних циклів і транспозицій, визначте її порядок і парність.

Розв’язок. Незалежним циклом називається перестановка, яка елемент i ₁ переводить у i ₂, i ₂ - в i ₃,..., i_n – в i ₁, а інші елементи залишає на місці. Будь-яку перестановку можна розкласти в добуток незалежних циклів.

.

Порядок перестановки – це найменше спільне кратне довжин незалежних циклів . .

Транспозицією називається цикл довжиною два: . Будь-яка перестановка є добутком транспозицій. Цей добуток можна отримати так: .

Для заданої перестановки добуток транспозицій має вигляд .

Число , де – кількість транспозицій, називається парністю перестановки. Якщо .

Для заданої перестановки . Тобто перестановка непарна.

Приклад 2. Знайдіть , якщо .

Розв’язок. Для розв’язання задачі визначимо порядок перестановки . Для цього розкладемо її в добуток незалежних циклів

. Тоді НСД НСД та .

Приклад 3. Знайдіть перестановку з рівності , якщо

, , .

Розв’язок. Рівність помножимо ліворуч на та праворуч на , враховуючи, що отримаємо .

Обернену перестановку отримуємо з перестановки , міняючи місцями рядки. Обчислимо , , підставляючи їх у вираз для , знаходимо

.

Перевірка: перевіримо, що . Дійсно

.

Приклад 4. Знайдіть перестановки множини переставні з перестановкою , якщо .

Розв’язок. Перестановки називаються переставними, якщо . Відразу можна сказати, що перестановки переставні з . , .

У загальному випадку дві перестановки непереставні.

6.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Нехай . Знайдіть

2. Знайдіть добуток перестановок і запишіть його у вигляді:

.

1) ;

2) .

3. Задані престановки , , , . Знайти добутки: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) , 11) , 12) .

4. Розкладіть у добуток незалежних циклів і транспозицій перестановки. Знайдіть їх порядок. Зазначте, які з них є парними, які – непарними.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

5. Знайдіть , якщо .

6. Знайдіть усі перестановки множини переставні з перестановкою , якщо .

7. Знайдіть порядки всіх елементів групи . Чи є група циклічною?

8. З’ясуйте, чи буде підгрупою множина всіх елементів другого порядку в групі .

9. Побудувати множину парних перестановок у групі . Чи буде множина підгрупою в групі ?

10. Знайти всі підгрупи в групах 1) , 2) (група парних перестановок у групі ).

11. Вкажіть найвищій порядок перестановки в групі 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Наведіть приклад перестановки цього найвищого порядку, з’ясуйте, чи буде вона парною.

12. Навести приклади перестановок з групи порядку 1) 10; 2) 4; 3) 6; 4) 5; 5) 12.

13. Нехай задано розклад перестановки в добуток незалежних циклів .... Знайти розклад перестановки у добуток незалежних циклів.

14. Скільки елементів порядку 6міститься в групі 1) , 2) ?

15. Довести, що порядок непарної перестановки є парним числом.

16. Знайдіть порядки всіх елементів групи обертань правильного -кутника, якщо 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Чи будуть ці групи циклічними?

17. Знайдіть усі утворюючі елементи групи обертань правильного -кутника, якщо 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

18. Знайдіть усі підгрупи групи обертань правильного -кутника, якщо 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .