Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
а) 1, б) ;
13) матриць порядку із дійсними елементами з фіксованим визначником відносно множення;
14) діагональних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання;
15) діагональних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;
16) діагональних матриць порядку із дійсними елементами, всі елементи діагоналей яких відмінні від нуля, відносно множення;
17) верхньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;
18) нижньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;
19) верхньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання;
20) нижньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання.
2. Доведіть, що одиничний елемент моноїда завжди має обернений та .
3. Доведіть, що обернений елемент єдиний.
4. Наведіть приклад моноїда, в якому обернений елемент має тільки одиничний елемент.
5. Наведіть по два приклади 1) груп з двох та трьох елементів; 2) скінчених та нескінчених груп.
6. Визначте тип алгебраїчної структури.
1) , , , , , ;
2) , , , , ;
3) , , , , ;
4) , ;
5) , де – множина векторів площини, які виходять з початку координат.
7. Доведіть, що якщо в групі виконується тотожність , то група комутативна.
4 ПІДГРУПИ
4.1 Мета заняття
Ознайомити студентів з конкретними прикладами підгруп; навчити студентів відрізняти підгрупи від довільних підмножин у групі; встановити деякі властивості підгруп.
4.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи
За темою студент повинен: знати поняття підгрупи, порядку елемента, властивості груп; вміти застосовувати теоретичний матеріал до розв’язання задач за темою [3, c. 140-143].
4.3 Контрольні запитання й завдання
1. Чи буде множина групою за множенням? Які елементи в оборотні?
2. Чи будуть парні числа підгрупою в за додаванням; непарні числа { } підгрупою в за додаванням?
3. Дайте визначення порядку елемента.
4.4 Приклади розв’язання аудиторних задач
Приклад 1. Підмножина H групи G називається підгрупою, якщо множина H, розглянута сама по собі, є групою відносно операції, заданої на G. Довести, що H є підгрупою мультиплікативної групи G, якщо виконуються такі умови:
1. ;
2. ;
3. .
Доведення. Для того, щоб Н була групою, необхідно перевірити виконання чотирьох аксіом групи:
· (замкненість);
· (асоціативність);
· (існування одиничного елемента);
· (існування оберненого елемента).
Враховуючи, що H – підмножина в G, а алгебраїчна операція в така сама, що і в , то асоціативність можна не перевіряти: те, що вірно для всіх елементів з групи G, вірно і для елементів з підгрупи H. Потрібно перевірити:
1) умову існування одиничного елемента ;
2) (замкненість);
3) у будь-якого h існує обернений елемент, тому що G – група, слід перевіряти умову .
Приклад 2. Які із зазначених нижче підмножин є підгрупами групи а) ; б) ; в) .
Розв’язок. Перевіряємо умови, сформульовані у прикладі 1:
а) . Отже, – підгрупа;
б) , також . Висновок: не є підгрупою;
в) EMBED Equation.3 Але, якщо і , то – не підгрупа.
Приклад 3. Нехай – адитивна абелева група, і – її підгрупи. Нехай . Доведіть, що – підгрупа в . Де в доведенні використовується комутативність групи ?
Доведення. Під час доведення замкненості відносно операції використовується комутативність групи .
Нехай . Покажемо, що . З випливає, що та , де , . Тоді . Тут використо-вується комутативність. Враховуючи, що , а – підгрупа, то , аналогічно , тоді . Властивість асоціативності виконуватиметься, тому що вона виконується для всієї групи. Одиничний елемент (нульовий) існує та належить .
Перевіримо, що обернені (протилежні) елементи належать .
Нехай , де – підгрупи групи , отримуємо, і , тоді та . Переконаємося в цьому. Розглянемо
.
– підгрупа групи .
Приклад 4. Знайти порядок елемента у мультиплікативній групі невироджених матриць 2-го порядку з дійсними коефіцієнтами.
Розв’язок. Нагадаємо, порядком елемента називається найменше додатне число таке, що .
У мультиплікативній групі невироджених матриць одиничним елементом є одинична матриця . Тобто шукатимемо таке число , щоб .
.
. Робимо висновок, що порядок елемента дорівнює 3. Або .
Приклад 5. Визначити порядок елемента 2 у групі .
Розв’язок. Одиничним елементом у групі є .
; ; . Порядок .
Приклад 6. Доведіть, що для будь-яких елементів групи однаковий порядок мають елементи: 1) і ; 2) і ; 3) і .
Розв’язок. 1. Нехай , тобто . Доведемо, що й . Розглянемо . Доведено, що .
2. Нехай , доведемо, що . Представимо . Скористаємося асоціативністю та запишемо, що . Звідси .
3. Нехай , доведемо, що . Розпишемо . Рівність домножимо праворуч на , отримаємо , домножимо , звідки , тоді .
Приклад 7. Доведіть, що якщо у групі порядок кожного неодиничного елемента дорівнює двом, то вона абелева.
Доведення. Нехай . Так як , то , то та з того, що , тобто , випливає, що . , але . Таким чином, , тобто група абелева, якщо порядки неодиничних елементів дорівнюють двом.
4.5 Задачі для самостійного розв’язку
1. Чи будуть числа вигляду підгрупою у Q за додаванням?
2. Доведіть, що дані підмножини комплексних чисел будуть підгрупами у групі G=[C/0,×] за множенням:
а) коло одиничного радіуса: S1={z Î С\0 | |z|=1};
б) корні m-го степеня з 1: .
3. Чи будуть підгрупами в групі :
а) пряма, що проходить через 0; б) пряма, яка не проходить через 0?
4. Чи будуть підгрупами в такі підмножини:
а) ,
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
5. Нехай – множина всіх невироджених матриць. Розглянемо дані множини:
а) , б) ,
в) .
Довести, що це групи відносно множення матриць. Які з них є підгрупами одна одної?
6. Чи утворять групу відносно множення:
а) невироджені верхнєтрикутні матриці; б) невироджені симетричні матриці?
7. Перевірити, чи утворять групу відносно множення матриці обертань площини:
.
8. Скільки елементів містить напівгрупа, що складається з усіх степенів матриці
?
Чи є ця напівгрупа групою?
9. Чи утворить групу за додаванням множина верхнєтрикутних матриць?
10. Знайти порядок елемента групи
.
11. У мультиплікативній групі невироджених матриць 2-го порядку з комплексними коефіцієнтами знайти порядки елементів: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .
12. Знайти порядки всіх елементів у групах: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
13. Вказати мінімальну підгрупу, яка містить елемент 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Операцію в групі вибрати довільним чином.
14. У групі вказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
15. У групі вказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
16. У групі вказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
17. Скільки елементів порядку 6 міститься у групі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) (група парних перестановок з п’яти елементів)?
5 ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ
5.1 Мета заняття
Ознайомити студентів з конкретними прикладами циклічних груп і вивчити основні закономірності будови циклічних груп.
5.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи
Студент повинен мати поняття про циклічну групу, її зв'язок з абелевою групою, а також основні теореми про порядок будь-якого елемента та вміти застосовувати теоретичні знання до розв’язання задач [3, c. 143-146].
5.3 Контрольні запитання та завдання
1. Дайте визначення порядку елемента.
2. Який елемент називається утворюючим?
5.4 Приклади розв’язання аудиторних задач
Приклад 1. Перевірити, чи буде адитивна група з операцією додавання за модулем 4 циклічною. У разі позитивної відповіді вкажіть усі утворюючі елементи.
Розв’язок. Група називається циклічною, якщо всі її елементи можуть бути подані, як степені з цілими показниками деякого одного елемента. Цей елемент називається утворюючим.
Група . По черзі підноситимемо всі елементи до степеня.
Елемент 0 у будь-якому степені дає 0, тобто порядок цього елемента 1. . Елемент 0 не є утворюючим елементом.
Елемент 1. , , . Порядок цього елемента 4. . Елемент 1 є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня отримуємо всі інші елементи групи.
Елемент 2. . Порядок цього елемента 2. . Елемент 2 не є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня, отримуємо тільки елементи 2 та 0.
Елемент 3. , , . Порядок цього елемента 4. . Елемент 3 є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня, отримуємо всі інші елементи групи.
Відповідь: група є циклічною, утворюючі елементи: та .
Приклад 2. Знайдіть усі підгрупи адитивної групи з операцією додавання за модулем 4.
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 336 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!