ЗАТВЕРДЖЕНО 5 страница

19. Знайдіть усі підгрупи групи симетрій 1) правильного трикутника; 2) квадрата; 3) ромба, який не є квадратом; 4) прямокутника.

7 ГОМОМОРФІЗМ ГРУП

7.1 Мета заняття

Навчити студентів перевіряти гомоморфність конкретних відображень; описувати ядро та образ гомоморфізму в термінах даної задачі; встановлювати деякі властивості гомоморфізмів.

7.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен: знати поняття ізоморфізму, властивості груп (одиниця переходить в одиницю, обернене відображення теж є ізоморфізмом); теорему Келі, поняття автоморфізму групи, гомоморфізму; вміти розв’язувати задачі за темою
[3, c. 156-163].

7.3 Контрольні запитання

1. Що називається гомоморфізмом; ізоморфізмом; автоморфізмом; мономорфізмом, епіморфізмом?

2. Чим відрізняється ядро гомоморфізму від ядра ізоморфізму?

7.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Доведіть, що адитивна група дійсних чисел ізоморфна мультиплікативній групі додатних дійсних чисел.

Розв’язок. Для доведення розглянемо відображення

, де , а та .

Спочатку потрібно перевірити, що відображення буде гомоморфізмом, тобто зберігається групова операція. Якщо задані групи та , та є відображення , то має виконуватися умова .

Переконуємося, що для : , тобто відображення – гомоморфізм.

Знайдемо ядро гомоморфізму. За визначенням, ядром гомоморфізму називається множина елементів .

.

Оскільки ядро складається з одного елемента , це означає, що відображення ін’єктивне.

Визначимо образ відображення. Образом називається множина елементів вигляду .

.

Образ відображення співпадає з множиною елементів з другої групи , тому відображення сюр’єктивне. Отже, відображення водночас і ін’єктивне та сюр’єктивне, тому воно – бієктивне. Робимо висновок, що відображення – ізоморфізм. Коротко це записується так: .

Приклад 2. Довести, що відображення є гомоморфізмом. Знайти його ядро й образ.

Розв’язок. Маємо : . Тобто, f -гомоморфізм. , тобто – множина коренів
n- го степеня з 1. Відображення неін’єктивне. Знайдемо образ . Підносячи комплексні числа до степеня, отримуємо множину комплексних чисел. Отже, . Відображення сюр’єктивне. Висновок: f -епіморфізм.

Приклад 3. Чи буде перетворення повної лінійної групи , автоморфізмом?

Розв’язок. Для автоморфності (як і гомоморфності) перетворення необхідно, щоб була виконана умова . У нашому випадку . Висновок: – не автоморфізм.

Приклад 4. Довести, що відображення , є гомоморфізмом. Знайдіть його ядро й образ.

Розв’язок. Позначимо , та .

Нехай , тоді . Отже,
– гомоморфізм. Знайдемо

– одиничне коло. Відображення неін’єктивне.

. Відображення несюр’єктивне. Висновок:
– гомоморфізм.

Приклад 5. Знайдіть усі гомоморфізми циклічної групи порядку 6 у циклічну групу порядку 18.

Розв’язок. Розглянемо групи , , відображення . Використауємо властивість, що одиничний елемент однієї групи відображується в одиничний елемент іншої групи . З огляду, що , маємо , , , , , отримуємо можливі образи утворюючого елемента . Число гомоморфізмів дорівнює шістьом.

Приклад 6. Знайдіть усі гомоморфізми циклічної групи порядку у себе.

Розв’язок. Гомоморфізм цілком визначається образом утворюючого елемента. А оскільки образом утворюючого елемента може бути будь-який елемент групи, то число гомоморфізмів дорівнює .

Приклад 7. Знайдіть усі гомоморфізми циклічної групи порядку 18 у циклічну групу порядку 6.

Розв’язок. Відомо, що та , а також . Тоді можливі образи утворюючого елемента .

7.5 Задачі для самостійного розв’язання

У задачах 1–9 перевірте, чи є зазначені відображення гомоморфізмами. Знайдіть їхнє ядро та образ. Визначте тип гомоморфізму.

1. :

a) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) , ; ж) .

2. :

а) ; б) ; в) ; г) ;
д) е) .

3.

4.

5. а) , б)

6. а) б) в)

7. а) ; б) ; в) , де .

8. а) , б) .

9. ; а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

10. Чи буде перетворення повної лінійної групи , автоморфізмом?

11. Нехай G – мультиплікативна абелева група . Доведіть, що перетворення : а) , де – гомоморфізм; б) – ізоморфізм.

12. Для яких груп відображення , визначене правилом а) , б) є гомоморфізмом?

13. Нехай . Довести, що відображення вигляду – гомоморфізм. Знайти його ядро та образ.

14. Знайти всі ізоморфізми між групами та .

15. Довести, що група порядку 6 або комутативна, або ізоморфна групі .

16. Довести, що якщо раціональне число не дорівнює нулю, то відображення є автоморфізмом групи . Знайти всі гомоморфізми групи .

17. Знайти всі гомоморфні відображення адитивних груп:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

8 СУМІЖНІ КЛАСИ

8.1 Мета заняття

Навчити студентів описувати суміжні класи в термінах конкретних задач. Потрібно, за можливості, описувати суміжні класи за допомогою геометричних термінів.

8.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен знати: поняття лівого суміжного класу групи за підгрупою , правого суміжного класу ; теорему про два лівих суміжних класи, теорему Лагранжа, теорему про циклічну групу [3, c. 164-168].

8.3 Контрольні запитання й завдання

1. Чи є суміжний клас підгрупою; моноїдом; напівгрупою?

2. Сформулюйте теорему Лагранжа. Чи справедлива обернена теорема?

8.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Виписати суміжні класи адитивної групи з операцією додавання за модулем 12 за підгрупою .

Розв’язок. Відомо, що . Для скінчених груп кількість суміжних класів (індекс групи за підгрупою) знаходиться за формулою , де – порядок групи, – порядок підгрупи. .

Лівим суміжним класом називається множина . Сама підгрупа є суміжним класом. Цей суміжний клас отримуємо . Знайдемо ще 2 суміжних класи. Перебираємо елементи групи, елемент 1 не увійшов у перший суміжний клас. Отже, другим суміжним класом буде:

.

Третім суміжним класом буде:

.

Таким чином, група . Праві суміжні класи збігаються з лівим.

Приклад 2. Виписати суміжні класи адитивної групи цілих чисел за підгрупою цілих чисел. кратних чотирьом .

Розв’язок. Відомо, що . Будуємо ліві суміжні класи. Сама підгрупа є суміжним класом, тобто . Знайдемо ще суміжних класи.

,

,

.

Якщо братимемо елемент 4, то суміжний клас співпаде з .

Об’єднуючи всі суміжні класи, отримуємо всі елементи групи. . Праві суміжні класи збігаються з лівим.

Приклад 3. Знайти суміжні класи адитивної групи G=[R²,+] векторів площини, що виходять із початку координат, за підгрупою H=[ Oх,+] векторів, що лежать на осі .

Розв’язок. Нехай будь-який вектор. Суміжний клас, що відповідає вектору , за визначенням . З геометричних міркувань маємо, що якщо , то кінці векторів лежать на прямій, яка паралельна осі та проходить через кінець вектора . Таким чином, суміжний клас є "віяло" векторів, що виходять із початку координат, кінці яких лежать на прямій, паралельній осі . Оскільки при фіксованому початку координат можна ототожнити вектор з його кінцевою точкою, то можна сказати, що суміжний клас є пряма, яка проходить через точку паралельно .

Приклад 4. Доведіть, що підгрупа матриць із визначниками, рівними одиниці (спеціальна лінійна група) є нормальним дільником повної лінійної групи .

Розв’язок. Підгрупа називається нормальним дільником групи , якщо .

Для доведення покажемо, що підгрупа разом з кожним своїм елементом містить також елемент , для довільного .

Оскільки , то . Знайдемо , отже, .

Приклад 5. Доведіть, що будь-яка підгрупа індексу два є нормальним дільником.

Розв’язок. Підгрупа є нормальним дільником, якщо ліві та праві суміжні класи співпадають . Якщо індекс підгрупи , то існує два суміжних класи. або ж , звідки випливає, що , тобто є нормальним дільником групи .

8.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Знайдіть суміжні класи:

а) групи за підгрупою ;

б) групи за підгрупою ;

в) групи за підгрупою ;

г) групи за підгрупою ;

д) мультиплікативної групи G комплексних чисел, які лежать на одиничному колі за підгрупою коренів -го степеня з 1;

е) адитивної групи дійсних чисел R за підгрупою цілих чисел;

ж) групи за підгрупою .

2. Знайдіть суміжні класи адитивної групи за будь-якою власною підгрупою: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Знайдіть суміжні класи мультиплікативної групи за усіма підгрупами.

4. Нехай G – циклічна група, , g – утворюючий елемент G, H – циклічна підгрупа групи G, породжена елементом , де d – дільник m. Доведіть, що елементи є повною системою представників суміжних класів.

5. Доведіть, що підгрупа коренів -го степеня з одиниці є нормальним дільником мультиплікативної групи комплексних чисел, які лежать на одиничному колі.

6. Чи буде нормальним дільником у групі множина всіх матриць вигляду , де числа – непарні, – парні?