Однорідна система лінійних рівнянь

Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Складемо головний визначник системи. При розв’язанні системи можуть бути випадки:

1) якщо , тоді система має лише єдиний нульовий розв’язок, тобто (підстановка нульових значень замість невідомих у кожне з рівнянь перетворює їх у тотожність);

2) якщо , тоді система може мати безліч ненульових розв’язків, тобто буде неозначеною. У цьому випадку одне з рівнянь системи є лінійною комбінацією двох інших і може бути відкинуте. Тоді система буде складатися з двох рівнянь з трьома невідомими і матиме, наприклад, вигляд:

Припустимо, що із трьох визначників другого порядку цієї системи хоча б один не дорівнює нулю, наприклад, визначник із коефіцієнтів при невідомих та :

.

Тоді система з двох рівнянь з трьома невідомими є невизначеною і має безліч розв’язків, які знаходять за формулами:

,

де , , – довільне дійсне число.

Може мати місце випадок, коли всі визначники останньої системи дорівнюють нулю. Тоді одне з рівнянь системи є наслідком іншого і може бути відкинуто. Залишається одне рівняння системи, наприклад, перше. Якщо, наприклад, , то система має безліч розв’язків, що знаходяться за формулами:

,

де – довільні дійсні числа.