Числовые характеристики связи случайных величин

Числовой характеристикой силы или интенсивности статистической связи служит ковариация. Ковариацией двух случайных величин Х и Y называется число s _XY = cov (X,Y), равное математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от своих математических ожиданий:

s _XY = cov (X,Y) = M [(X- M (X)) ×M (Y- M (Y))]

Эта формула может быть преобразована к более удобному для вычисления ковариации виду:

s _XY = cov (X,Y) = M(X×Y) - M(X)×M(Y)

Если ковариация случайных величин X и Y cov (X,Y) = 0, то говорят, что случайные величины X и Y некоррелированы. Если ковариация cov (X,Y) ¹ 0, то случайные величины X и Y являются коррелированными, а также зависимыми случайными величинами.

Ковариационной матрицей системы n случайных величин (Х₁, Х₂,..., Х_n) называется матрица, элементами которой являются ковариации
s_ij = cov (X_i,Y_j): S = (s_ij).

Ковариационная матрица является симметрической (s_ij = s_ji), а ее диагональные элементы равны дисперсиям случайных величин Х₁, Х₂,..., Х_n. Определитель матрицы S называют обобщенной дисперсией, это число çS÷×рассматривают как меру рассеяния системы n случайных величин.

Недостатком ковариации является ее размерность, равная произведению размерностей компонент X и Y. Меру статистической связи удобнее выражать безразмерной величиной. С этой целью вводится коэффициент корреляции.

Коэффициентом (линейной) корреляции случайных величин X и Y называют отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

r _XY = cov (X,Y)/(s_X ×s_Y).

Для зависимых случайных величин коэффициент корреляции является мерой линейной связи между ними, он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции другой.

Если r _XY > 0, то корреляцию называют положительной, при изменении одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем изменяться в том же направлении. В случае отрицательной корреляции они изменяются в противоположных направлениях.