Числовые характеристики выборки

Числовые характеристики выборки дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой. Наибольшее практическое значение имеют характеристики положения, рассеяния и асимметрии эмпирических распределений.

Среднее арифметическое () представляет собой такое значение признака, сумма отклонений выборочных значений признака от которого равна нулю.

Геометрический смысл среднего арифметического - точка на оси х, которая является абсциссой центра масс гистограммы.

Среднее арифметическое может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Для несгруппированных данных:

где n – объем выборки; x_i – варианты выборки. Для сгруппированных данных:

где n – объем выборки; k – число интервалов группировки; n_i – частоты интервалов; x_i – срединные значения интервалов.

Медианой (Me) называется такое значение признака X, когда одна половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина - больше.

Если в вариационном ряду 2m+1 случаев, то значение признака у случая m+1 будет медианным. Если в ряду четное число 2m случаев, то медиана равна средней арифметической из двух срединных значений. При нечетном количестве вариантов медиана рассчитывается по формуле , при чётном .

Модой (Mo) называется варианта, наиболее часто встречающаяся в данном вариационном ряду. Для дискретного ряда мода, являющаяся характеристикой вариационного ряда, определяется по частотам вариант и соответствует варианте с наибольшей частотой. Мода рассчитывается по формуле

,

где x_Mo(min) – нижняя граница модального интервала; k – величина модального интервала; m_Mo – частота модального интервала; m_Mo-1 – gчастота интервала, предшествующего модальному; m_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Вариационный размах (R), или широта распределения, есть разность между наибольшим и наименьшим значениями вариационного ряда:

Вариационный размах представляет собой величину неустойчивую, чрезвычайно зависящую от случайных обстоятельств; применяется для приблизительной оценки вариации.

Среднее линейное отклонение, или простое среднее отклонение (d) представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений вариант от средней. В зависимости от отсутствия или наличия частот вычисляют среднее линейное отклонение невзвешенное или взвешенное:

Средний квадрат отклонения, или дисперсия (D) наиболее часто применяется как мера колеблемости признака. Дисперсии невзвешенную и взвешенную вычисляют по формулам:

Таким образом, дисперсия есть средняя арифметическая из квадратов отклонений вариант от их средней арифметической. Квадратный корень из дисперсии () называется среднеквадратическим отклонением.

Коэффициентом асимметрии (A_s) называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения:

Если полигон вариационного ряда скошен, то есть одна из его ветвей начиная от вершины зримо короче другой, то такой ряд называется асимметричным.

Эксцессом (E) называется уменьшенное на три единицы отношение центрального момента четвёртого порядка к четвёртой степени среднеквадратического отклонения:

Кривые распределения, у которых E<0, менее крутые, имеют более плоскую вершину и называются плосковершинными. Кривые распределения, у которых E>0, более крутые, имеют острую вершину и называются островершинными.

Выборочной квантилью порядка k называется член вариационного ряда (упорядоченной по возрастанию выборки) с номером [n·k]+1 (целая часть), если n·k - число не целое, и полусумма членов вариационного ряда с номерами n·k и n·k+1, если число n·k целое.