Использование симплекс-таблицы

Пусть запас ресурса Р₂ изменился на величину D₂. Тогда результирующая симплекс-таблица примет следующий вид.

Базис	Решение	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x 3	1,6 – 0,1D2				–0,1	–0,6
x 2	2,4 + 0,1D2				0,1	–0,4
x 1	4 + 0D2
F max	15,2 + 0,3D2				0,3	0,8

Так как введение D₂ сказывается только на элементах столбца «Решение», то изменение запаса ресурса может повлиять только на допустимость решения. Поэтому D₂ не может принимать значений, при которых какая-либо из базисных переменных становится отрицательной.

Поэтому должно выполняться

x ₃ = 1,6 – 0,1D₂ ³ 0;

x ₂ = 2,4 + 0,1D₂ ³ 0;

x ₁ = 4 + 0D₂ ³ 0.

Откуда –24 £ D₂ £ 16.

Таким образом, любое значение D₂, выходящее за пределы интервала –24 £ D₂ £ 16, приведет к недопустимости решения и новой совокупности базисных переменных.

Запас ресурса Р₂ можно увеличить на 16 ед. с 40 до 56. При этом значение целевой функции увеличится на 0,3 ´ 16 = 4,8 и составит 15,2 + 4,8 = 20.

Возникает закономерный вопрос: почему результаты, полученные на основе графического метода и итоговой симплекс-таблицы, несколько отличаются друг от друга? Как получить одинаковые результаты?

Легко видеть, что полученные результаты совпадают с теми, что имели место при смещении прямой L ₃ до точки D (4; 4). Именно на интервале –24 £ D₂ £ 16 изменения запаса ресурса Р₂ находится диапазон устойчивости двойственных оценок нашей задачи линейного программирования. При выходе за этот диапазон ресурсы могут менять свой статус. Кроме того, меняются теневые цены ресурсов.

Для получения аналогичного результата необходимо решить задачу

F = 2 х ₁ + 3 х ₂ ® max;

х ₁ + х ₂ £ 8;

4 х ₁ + 10 х ₂ £ 56;

х ₁ £ 4;

х ₁ ³ 0; х ₂ ³ 0.

в которой уже учтен прирост второго ресурса.

На основе полученной итоговой симплекс-таблицы

Базис	Решение	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x 1				1,67	–0,17
x 2				–0,67	0,17
x 5				–1,67	0,17
F max				1,33	0,17

можно найти максимальный запас второго ресурса.

Для этого нужно решить систему неравенств

x ₁ = 4 – 0,17D₂ ³ 0;

x ₂ = 4 + 0,17D₂ ³ 0;

x ₅ = 0 + 0,17D₂ ³ 0.

Откуда 0 £ D₂ £ 24.

Таким образом, запас ресурса Р₂ можно увеличить на 24 ед. с 56 до 80. При этом значение целевой функции увеличится на 0,17 ´ 24 = 4 и составит 20 + 4 = 24.

Как видим, результат полностью идентичен полученному графическим методом.

Пусть запас ресурса Р₃ изменился на величину D₃. Тогда результирующая симплекс-таблица примет следующий вид.

Базис	Решение	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x 3	1,6 – 0,6D3				–0,1	–0,6
x 2	2,4 – 0,4D3				0,1	–0,4
x 1	4 + 1D3
F max	15,2 + 0,8D3				0,3	0,8

Как и для второго ресурса должно выполняться

x ₃ = 1,6 – 0,6D₃ ³ 0;

x ₂ = 2,4 – 0,4D₃ ³ 0;

x ₁ = 4 + 1D₃ ³ 0.

Откуда –4 £ D₃ £ 8/3.

Таким образом, запас ресурса Р₃ можно увеличить на 8/3 ед. с 4 до 4 + 8/3 = 20/3. При этом значение целевой функции увеличится на 0,8 ´ 8/3 = 32/15 и составит 15,2 + 32/15 = 52/3.

6. Теневая цена ресурса показывает, как изменится значение целевой функции при увеличении запаса этого ресурса на единицу. Поэтому наиболее выгодным будет тот ресурс, который имеет наибольшее значение теневой цены.