Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначение частных производных второго порядка:

.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьих и высших порядков, например:

и т.д.

Так называемые «смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например:

.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: ; вообще

Если x и y – независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам: