![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основные теоретические сведения.
1. Числовой ряд
+
+…+ а
+… =
, (1)
называется сходящимися, если существует предел его частичных сумм . Число
называется суммой ряда. Если же предел частичных сумм не существует, то ряд (1) называется расходящимися.
Необходимый признак сходимости: если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при :
.
К достаточным признакам сходимости рядов с положительными членами () относятся:
а) Признак сравнения в предельной форме: если
, (2)
то ряды и
одновременно сходится или расходится. В качестве эталонных рядов для сравнения обычно служат:
ряд сходящийся при
и расходящийся при
;
ряд , сходящийся при
и расходящийся
.
б) Признак Даламбера: если существует
, (3)
то ряд сходится при
и расходится при
. Если же
, то вопрос о сходимости ряда этим признаком не решается.
Ряд с членами, имеющими разные знаки, называется условно сходящимся, если ряд
сходится, а ряд
расходится, и абсолютно сходящимся, если ряд
сходится.
в) Признак Лейбница: если члены ряда удовлетворяют условиям:
1) (т.е. ряд знакочередующийся); 2)
;
3) , то ряд сходится. Погрешность
, происходящая от замены суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой его первых n членов, по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов:
. (4)
2. Ряд вида
(5)
называется степенным рядом [относительно ], точка
центром разложения,
коэффициентами ряда. Число
называется радиусом сходимости степенного ряда, если ряд (5) сходится при
и расходится при
. При
ряд может как сходится, так и расходится. Интервал
называется интервалом сходимости степенного ряда (5). Радиус сходимости R может быть найден по формуле
. (6)
Степенной ряд (5) внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать с сохранением радиуса сходимости.
Пример 1. Исследовать на сходимость числовой ряд .
Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера (3). Так как общий член ряда , то, заменяя в выражении n- го члена n на n +1, находим
. Затем ищем предел отношения последующего члена
к предыдущему
при
:
.
Поскольку полученный предел равен единице, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (здесь для вычисления предела было использовано правило Лопиталя). Применим теперь признак сравнения в предельной форме. В качестве эталонного ряда выберем ряд ,
и в силу формулы (2) получим
.
Следовательно, исследуемый ряд является расходящимся, так как эталонный ряд с общим членом расходится (гармонический ряд).
Пример 2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Решение. Радиус сходимости находим по формуле (6):
,
Интервал сходимости данного ряда определяется интервалом или
.
Исследуем концы интервала сходимости. При получаем числовой ряд
,
расходимость которого может быть установлена с помощью предельного признака сравнения (эталонный ряд – гармонический).
При получаем числовой ряд
,
который сходится по признаку Лейбница. Так как ряд, составленный из абсолютных членов данного ряда, т.е. ряд , расходится, то исследуемый ряд сходится условно.
Таким образом, интервал сходимости исследуемого степенного ряда имеет вид .
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 281 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!