Вероятность ошибки при использовании для связи наборов ортогональных и неортогональных сигналов

Если вместо двоичного алфавита используется алфавит из
М ортогональных сигналов, то при данном SNR увеличивается число возможностей для появления символьной ошибки, всего существует (М-1) возможность допустить ошибку. График, демонстрирующий ухудшение вероятности символьной ошибки с увеличением М приведен на рисунке 9.6. Фиксированный SNR означает фиксированный объем энергии на символ, следовательно, при увеличении М этот объем энергии нужно распределять уже между большим числом битов, т.е. на каждый бит приходится меньше энергии.

Рисунок 9.6 Зависимость вероятности символьной ошибки от SNR для когерентной передачи сигналов FSK

Однако ортогональная передача приводит к повышению достоверности обнаружения при увеличении объема алфавита М. Рассмотрим аналогию – приобретение товара. Выбор качества соответствует выбору точки на оси рисунка 9.6, скажем, 10^-3. Проведем из этой точки горизонтальную линию через все кривые (от М=2 до М=1024). Пусть мы покупаем самую маленькую упаковку творога, которая содержит две пачки и стоит $1. обращаясь к рисунку 9.6 можно сказать, что такая покупка соответствует пересечению проведенной горизонтальной линии с графиком для М=2. Смотрим вниз на соответствующее значение параметра SNR и называем пересечение с этой осью ценой $1. При следующем походе за покупками мы решаем, что в прошлый раз стоимость творога была высокой – по 50 центов за пачку. Поэтому решаем купить большую упаковку (8 пачек) за $2. Данная покупка соответствует пересечению горизонтальной линии с кривой М=8 на рисунке 9.6. Смотрим вниз и называем соответствующее значение SNR ценой $2. Хотя мы и купили большую емкость, заплатив за нее большую цену, все же стоимость одной пачки упала (и составляет теперь 25 центов). Эту аналогию можно продолжать. Мы можем приобретать все большие и большие упаковки, при этом их цена (SNR) будет расти, а стоимость за пачку (требуемое для обнаружения ) будет падать. Это эффект масштаба: приобретение за раз большого количества товара соответствует закупкам по оптовым ценам, при этом цена единицы товара падает.

Рассмотрим теперь векторное представление неортогональных сигналов - сигналов многофазной манипуляции (multiple phase shift keying – MPSK). На рисунке 9.7 показаны наборы сигналов MPSK для М=2, 4, 8 и 16.

а) б) в) г)

Рисунок 9.7 Наборы сигналов MPSK для М=2, 4, 8 и 16.

На рисунке 9.7, а показаны бинарные (k=1; M=2) антиподные векторы s₁ и s₂, угол между которыми равен 180⁰. Граница областей решений разделяет сигнальное пространство на две области. На рисунке также показан вектор шума n, равны по амплитуде сигналу s₁ . При указанных направлении и амплитуде энергия вектора шума является минимальной для того, чтобы допустить ошибку в символе при приеме. На рисунке 9.7, б показаны 4-арные (k=2; M=4) векторы, расположенные друг к другу под углом 90⁰. Границы областей решений (на рисунке изображена только одна) делят сигнальное пространство на четыре области. Здесь также изображен вектор шума n (начало – в вершине вектора сигнала, направление перпендикулярно ближайшей границе областей решений), являющийся вектором минимальной энергии, достаточной для того, чтобы допустить символьную ошибку при приеме. Вектор шума минимальной энергии на рисунке 9.7, б меньше вектора шума на рисунке 9.7, а, что свидетельствует о большей уязвимости 4-арной системы по сравнению с бинарной (энергии сигналов в обоих случаях взяты равными). Изучая рисунки 9.7 в, г можно заметить следующую закономерность. При многофазной передаче сигналов по мере роста величины М на сигнальную плоскость помещается все больше сигнальных векторов. По мере того как векторы располагаются плотнее, для появления ошибки вследствие шума требуется все меньше энергии.

Размещение большего числа векторов сигналов в сигнальном пространстве эквивалентно повышению скорости передачи данных без увеличения системной ширины полосы (все векторы ограничиваются одной и той же плоскостью), т.е. повышению использования полосы за счет вероятности ошибки. Чем можно поступиться, чтобы «выкупить» возросшую вероятность ошибки? Иными словами, чем мы можем поступиться, чтобы расстояние между соседними векторами сигналов на рисунке 9.7, г стало таким же, как на рисунке 9.7 а? Можно увеличивать интенсивность сигнала (сделать векторы сигналов длиннее), пока минимальное расстояние от вершины вектора сигнала до линии решений не станет равным размеру вектора шума на рисунке 9.7, а. Таким образом, для неортогонального набора сигналов по мере роста М можно увеличивать производительность полосы либо за счет повышения вероятности ошибки, либо за счет увеличения отношения .