Вероятность ошибки

Детектор, минимизирующий вероятность ошибки для классов равновероятных сигналов, называется детектором максимального правдоподобия. В процессе принятия бинарного решения, показанного на рисунке 10.2, существует две возможности возникновения ошибки. При передаче сигнала ошибка происходит при выборе гипотезы (заштрихованная область слева от на рисунке 10.2). При передаче сигнала ошибка происходит при выборе гипотезы . Для равных априорных вероятностей (т.е. имеем следующую вероятность битовой ошибки:

(10.6)

Используя симметричность плотностей вероятности можно записать:

(10.7)

Вероятность появления ошибочного бита численно равна площади «под хвостом» любой функции правдоподобия, или , «заползающим» на «неправильную» сторону порога. Таким образом, для вычисления можно проинтегрировать от до или от до . Если выбрать второй вариант и заменить правдоподобие его гауссовским эквивалентом, то вероятность битовой ошибки можно записать как:

(10.8)

где - дисперсия шума вне коррелятора

Сделав замену ; получим

(10.9)

где (10.10) называется гауссовским интегралом ошибок и часто используется при описании вероятности с гауссовской плотностью распределения. Функция Q(x) приведена в таблице приложения 1.

Аппроксимация функции Q(x):

(10.11)

справедлива для значений x>3. Программа для пакета MATLAB вычисления значений аппроксимированной функции Q(x) приведена в приложении 2.

При униполярной передаче сигналов (ортогональный случай), когда =А; =0 вероятность появления ошибочного бита равна:

(10.12)

Для биполярной передачи сигналов (антиподный случай), когда =А; =-А вероятность битовой ошибки равна:

(10.13)