Координатне подання змішаного добутку

Принципово питання про координатне подання змішаного добутку “знімається” самим означенням змішаного добутку: це поняття є похідним від понять скалярного і векторного добутків, для яких координатне подання дано у попередніх лекціях. Дійсно, нехай вектори і задані своїми координатами:

тоді

.

Звідси

.

Якщо в отриманому виразі розкрити присутні в ньому визначники, то ми отримаємо досить громіздкий вираз. З ним незручно мати справу при виконанні проміжних перетворень і міркувань. Але при уважному погляді ми побачимо визначник третього порядку (див. §2), що дозволяє подати змішаний добуток у компактному і красивому вигляді. Нагадаємо, що за означенням, визначник третього порядку – визначник квадратної матриці третього порядку – обчислюється за формулою

.

Теорема (про координатне подання змішаного добутку). Нехай вектори і задані своїми координатами:

тоді змішаний добуток обчислюється за формулою:

.

Доведення. Ми знаємо, що векторний добуток при заданих координатах векторів-множників обчислюється наступним чином:

.

Відомо, що скалярний добуток дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів-множників. Отже, змішаний добуток буде дорівнювати:

.

Приклад. Нехай . Тоді

(отже, вектори і - компланарні).

Поєднуючи критерій компланарності трьох векторів з формулою координатного подання змішаного добутку, отримуємо: якщо вектори і задані своїми координатами: то необхідною і достатньою умовою компланарності цих векторів є співвідношення:

,

тобто рівність нулю визначника третього порядку, який складено з координат векторів і .