Властивості змішаного добутку

6.2.1. Геометричний зміст змішаного добутку.

Змішаний добуток за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах і , як на суміжних ребрах.

Відобразимо на малюнку векторний добуток векторів . За означенням векторного добутку його довжина дорівнює площині паралелограма, побудованого на і як на суміжних ребрах. В даному випадку: . Тоді, скалярний добуток , за означенням скалярного добутку, дорівнює добутку довжин цих векторів на .

||

Але відрізок є ні чим іншим як висотою паралелепіпеда . Змішаний добуток , що і треба було довести.

6.2.2. Критерій компланарності векторів і точок.

Вектори і звуться компланарними, якщо після зведення до спільного початку вони лежать в деякій одній і тій самій площині.

Теорема (критерій компланарності трьох векторів). Три вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх змішаний добуток дорівнює нулю.

Доведення. Якщо три вектори компланарні, то вектор потрапляє в площину і . Отже паралелепіпед вироджується: він не має висоти, тобто його висота дорівнює нулю, його об’єм теж дорівнює нулю, а з цього випливає, що змішаний добуток теж дорівнює нулю.

Нехай є деяка сукупність точок. Будемо називати ці точки компланарними, якщо усі вони лежать в деякій, одній і тій самій, площині.

Теорема (критерій компланарності чотирьох точок). Чотири точки компланарні тоді і тільки тоді, коли .

Доведення — виконати самостійно, спираючись на критерій компланарності трьох векторів.

6.2.3. Алгебраїчні властивості змішаного добутку.

Теорема. Змішаний добуток має властивості однорідності та аддитивності по кожному з векторів-множників, тобто:

(однорідність)

(адитивність)

Доведення — виконати самостійно, спираючись на відповідні властивості скалярного і векторного добутків.