Теорема (алгебраїчні властивості векторного добутку)

Векторний добуток має такі властивості:

(антикомутативність);

(однорідність по першому і другому аргументу);

(адитивність по першому і другому аргументу).

Доведення.

Антикомутативність означає, що коли ми змінимо порядок множників, то перед векторним добутком з’явиться знак мінус. Це випливає безпосередньо з означення векторного добутку. Дійсно, нехай ми підрахували векторний добуток. Уявімо собі, що ми знаходимось на вістрі вектора і що вектори і є годинниковими стрілками на деякому циферблаті, причому вектор є нерухомою стрілкою, а перший вектор обертається проти годинникової стрілки, щоб якнайскоріше потрапити у положення другого вектора. Якщо тепер ми припустимо, що нерухомим є перший вектор, а ми знаходимось там, де і були, то найкоротший поворот другого вектора до положення першого буде для нас спостерігатися вже за годинниковою стрілкою. Отже, ми повинні обійти циферблат, щоб зазначений поворот спостерігати саме так, як вимагає означення векторного добутку.