Розв’язання

Нехай коефіцієнт пропорційності відомий . Позначимо через кількість радію, що не розпався, у момент часу. Швидкість розпаду радію є швидкість зміни функції, що зв'язує і , тобто похідна .

Відповідно до умови,

.

Знак мінус показує, що - убутна функція, отже,

, а ,

тому що і .

Розділяючи перемінні й інтегруючи, одержимо

.

Потенціюючи останню рівність, знаходимо

, чи .

Це співвідношення виражає закон розпаду радію.

Знайдемо постійну величину при початкових умовах при .

Підставивши ці значення в рівність , одержимо ,

тобто .Отже, шукана функція має вид .

Відповідь: .

Завдання 18. Розв’язати систему диференціальних рівнянь чисельним методом та вивести графік шуканої залежності:

Maple 9 дозволяє вирішувати|рішати| диференціальні рівняння і системи диференціальних рівнянь як аналітично, так і в чисельному вигляді|виді|.

Для розв'язку системи простих диференціальних рівнянь (задача|задача| Коші) використовується функція dsolve в різних формах запису:

dsolve (ODE)

dsolve (ODE, у|в,біля|(x), extra_args)

dsolve (, у|в,біля|(x), extra_args)

dsolve (

Тут - одно звичайне диференціальне рівняння або система з|із| диференціальних рівнянь першого порядку|ладу| з|із| вказівкою початкових умов, у|в,біля|(x) - функція однієї змінної, - вираз|вираження|, задаючий початкові умови, - безліч диференціальних рівнянь, - безліч невизначених|неозначених| функцій, - опція, задаюча тип розв'язку|розв'язання,вирішення,розв'язування|.

Параметр задає клас вирішуваних|рішати| рівнянь. Відзначимо основні значення цього параметра:

- аналітичний розв'язок |розв'язання,вирішення,розв'язування| (прийнято за умовчанням);

- розв’язок у явному вигляді|виді|;

- розв’язок системи диференціальних рівнянь| із|із| заданими початковими умовами;

- розв’язок у формі степеневого|поважного| многочлена;

- розв’язок на основі інтегральних перетворень Лапласа,Фур'є і ін.

- розв’язок у вигляді ряду|лави,низки| з|із| порядком|ладом|, указуваним|вказуваним| значенням змінної;

- розв’язок у чисельному вигляді|виді|.

Maple реалізує розв'язок|розв'язання,вирішення,розв'язування|, що адаптується|пристосував| до ходу, методи, при яких крок h розв'язку|розв'язання,вирішення,розв'язування| автоматично змінюється, підстроюючись|підбудовуючись| під умови розв'язку|розв'язання,вирішення,розв'язування|. Так, якщо прогнозована погрішність розв'язку|розв'язання,вирішення,розв'язування| стає більше задана, крок розв'язку|розв'язання,вирішення,розв'язування| автоматично зменшується. Крім того, система Maple здатна|здібна| автоматично вибирати найбільш відповідний|придатний| для розв'язку завдання|задачі| метод розв'язку|розв'язання,вирішення,розв'язування|.

Розв'язок|розв'язання,вирішення,розв'язування| диференціальних рівнянь може супроводжуватися|супроводитися| різними коментарями.

Похідні при записі диференціальних рівнянь можуть задаватися функцією diff або оператором D.

Наведений приклад|зразок| розв'язку|розв'язання,вирішення,розв'язування| системи диференціальних рівнянь. Тут на одному графіку представлені|уявлені| залежності і , що представляють|уявляють| повний розв'язок |цілковите||розв'язання,вирішення,розв'язування| заданої системи. При цьому процедура має особливий вид listprocedure і для перетворення списку вихідних даних у вектори розв'язку |розв'язання,вирішення,розв'язування| Y і Z використовується функція subs.

> with(plots):

> sys:=diff(y(x),x)=-2*z(x)+sin(y(x))+exp(y(x))*(z(x)^2),diff(z(x),x)=-3*z(x)+4*y(x)+(sin(z(x)))^3-y(x)^2;fcns:={y(x),z(x)};

> F:=dsolve({sys,y(2)=0,z(2)=1},fcns,type=numeric,output=listprocedure):

> Y:=subs(F,y(x)):Z:=subs(F,z(x)):

> plot({Y,Z},2..8,color=black);

Розв’язати диференціальне рівняння чисельним методом на даному

відрізку

> with(plots):

> g:=dsolve({diff(y(x),x$2)*exp(x)+x^2*diff(y(x),x)=cos(3*x),y(-1)=2,D(y)(-1)=3},y(x),numeric):

> plots[odeplot](g,[x,y(x)],-1..3,labels=[x,y]);

> plots[odeplot](g,[x,D(y)(x)],-1..3,labels=[x,y]);