ВВЕДЕНИЕ 8 страница. Спроецируем векторное равенство (1) на координатные оси х и у:

.

Спроецируем векторное равенство (1) на координатные оси х и у: ;

;

.

Пример №19.

Для плоского механизма, состоящего из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна , соединенных между собой и с опорами О₁ и О₂ шарнирно, положение механизма определяется углами , , , (рис. 106).

Ведущее звено – кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью . Определить скорость точки , угловую скорость и угловое ускорение звена , если размеры звеньев механизма , , , , .

Решение:

1. Определим скорость точки кривошипа : .

Для звена известны направления скоростей и точек и , принадлежащих одновременно вращающимся звеньям и . Мгновенный центр скоростей звена находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам и . для точек , , звена запишем соотношения:

;

;

.

Так как - равносторонний, , следовательно,

;

;

.

Вектор скорости точки D направлен перпендикулярно отрезку , являющемуся высотой .

2. Скорость ползуна и угловую скорость звена 3 определим с помощью мгновенного центра скоростей звена 3, который находится в точке Р₃. Запишем соотношения для звена 3:

.

Из выразим ; ;

;

;

;

.

3. Так как кривошип О₁А вращается с постоянной угловой скоростью, ускорение точки определим по формуле: .

Принимая точку за полюс, выразим ускорение точки :

. (1)

Так как точка принадлежит звену , вращающемуся вокруг оси , ускорение точки состоит из нормальной и касательной составляющих:

. (2)

Ускорение звена АЕ во вращательном движении состоит из двух слагаемых:

. (3)

С учетом (2) и (3) векторное равенство (1) примет вид:

(4)

Выразим слагаемые векторного равенства (4):

;

;

;

.

В векторном равенстве (4) слагаемые и известны только по направлению. Для нахождения двух неизвестных величин спроецируем (4) на две координатные оси, направляя ось х вдоль звена , а ось у – перпендикулярно звену:

на ось х: , (5)

на ось у: , (6)

из (5)

.

Знак (-) показывает, что направление вектора противоположно показанному на чертеже.

Из (6):

Зная ускорение , найдем угловое ускорение звена 2: .

2.9. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.

В ряде случаев движение точки можно рассматривать по отношению к двум системам отсчета, из которых одну можно считать условно неподвижной. Например, движение человека по движущейся лодке (рис. 107) по отношению к берегу является сложным, состоящим из движения относительно лодки (подвижная система отсчета) и движение вместе с лодкой по отношению к берегу (неподвижная система отсчета).

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным. Движение точки вместе с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы отсчета является для точки переносным.

При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

, (2.40)

где - абсолютная скорость точки в движении относительно неподвижной системы отсчета;

- относительная скорость точки, скорость движения относительно подвижной системы отсчета;

- переносная скорость точки, скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Если переносным движением является вращательное движение (рис. 108), переносной скоростью для точки будет являться скорость точки вращающегося конуса (подвижной системы отсчета), где в данный момент времени находится движущаяся точка М.

Численное значение скорости зависит от угловой скорости вращающегося тела и расстояния точки до оси вращения. Расстояние зависит от относительного движения точки вдоль образующей конуса. Модуль абсолютной скорости определяется по правилу параллелограмм: , (2.41)

где - угол между направляющими векторов и . Если векторы и взаимно перпендикулярны (рис. 108), то

. (2.42)

Если векторы и лежат в одной плоскости (рис. 109), то модуль абсолютной скорости удобно определить по проекциям на координатные оси

,

где , .

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений:

· относительного , характеризующего изменение относительной скорости точки в относительном движении;

· переносного , характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном движении;

· ускорения Кориолиса , характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости точки в относительном движении:

. (2.43)

Относительное и переносное ускорение определяется из закона соответствующего движения. Ускорение Кориолиса вычисляется по формуле:

, (2.44)

где - угловая скорость переносного вращательного движения.

Модуль ускорения Кориолиса зависит от угла между векторами и :

. (2.45)

Ускорение Кориолиса равно нулю, если а) , т.е. переносное движение не является вращательным; б) векторы и параллельны между собой, т.е.

.

Чтобы определить направление вектора ускорения Кориолиса по правилу Жуковского необходимо:

1. перенести в точку М вектор угловой скорости переносного вращательного движения;

2. спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору ;

3. повернуть проекцию на в сторону вращения (рис. 110).

Если переносное движение поступательное, то , , поэтому абсолютное ускорение будет равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений (рис. 111):

. (2.46)

При решении задач на сложное движение точки рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Выяснить, какое движение точки является абсолютным, какое относительным и какое переносным.

2. Используя закон относительного движения, определить положение точки в заданный момент времени.

3. Вычислить относительную и переносную скорости точки, показать векторы переносной и относительной скорости. Вычислить абсолютную скорость точки по правилу параллелограмма или по проекциям на координатные оси.

4. Вычислить составляющие относительного и переносного ускорения и показать на схеме их векторы.

5. В случае переносного вращательного движения определить модуль и направление ускорения Кориолиса.

6. Вычислить модуль абсолютного ускорения точки по проекциям на координатные оси.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ.

Пример №20.

Электромотор (рис. 112), установленный на горизонтальном фундаменте без креплений, движется поступательно и прямолинейно по закону:

.

Ротор мотора вращается вокруг оси согласно уравнению . Определить абсолютную скорость точки ротора, отстоящей от оси вращения ротора на расстоянии в момент времени . Положение точки М определяется углом .

Решение:

1. Точка совершает абсолютное движение относительно неподвижной системы отсчета . Подвижная система отсчета жестко связана с электромотором. Абсолютное движение точки состоит из относительного движения по окружности радиуса R со скоростью и переносного прямолинейного движения вдоль горизонтального фундамента со скоростью .

2. Положение точки в заданный момент времени определено углом .

3. Относительную и переносную скорость точки найдем, используя заданные законы относительного и переносного движения. В относительном движении скорость точки М зависит от угловой скорости вращения ротора и расстояния точки до оси вращения: ,

где ;

.

Следовательно, в заданный момент времени:

.

Переносную скорость точки найдем, дифференцируя по времени уравнение движения электромотора:

;

при t₁=1c .

Абсолютную скорость точки М можно найти по правилу параллелограмма:

.

Учитывая, что .

Абсолютную скорость точки можно найти по проекциям на координатные оси.

; ; .

Пример №21.

Стержень кулисного механизма (рис. 113) движется со скоростью . Для заданного положения механизма определить угловую скорость кулисы , если расстояние .

Решение:

Точка участвует в относительном движении вдоль кулисы со скоростью и в переносном движении со стержнем со скоростью . В абсолютном движении точка движется по окружности радиуса со скоростью . Зная переносную скорость , можно найти абсолютную скорость движения точки :

.

Учитывая, что , где - угловая скорость кривошипа, .

ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЯЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЕРЕНОСНОГО ПОСТУПАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ.

Пример №22.

Колеса тепловоза одинакового радиуса катятся без скольжения по прямолинейному участку пути. Спарник соединяющий кривошипы и , движется поступательно. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки спарника тот момент, когда угол поворота кривошипов и , равен и (рис.114), а тепловоз движется с постоянной скоростью .

Решение:

1. Спарник , на котором находится точка , дви­жется поступатель­но, следовательно, все точки спарника движутся по одина­ковым траекториям - окружностям ради­уса и имеют равные скорости и ускорения.

где - угловая скорость колеса.

Угловую скорость колеса определим, принимая во внимание, что колесо совершает плоскопараллельное движение, центр колеса движется со скоростью , а мгновенный центр скоростей колеса находится в точке :

.

Тогда

.

Абсолютную скорость точки найдем по проекциям на координатные оси:

;

;

где ;

;

.

2. Так как переносное движение является поступательным, абсолютное ускорение точки определим по формуле:

, (2)

где , .

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КОРИОЛИСА.

Пример №23.

Диск радиуса , закрепленный шарнирно в точке (рис.115), вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . По ободу диска движется точка согласно закону относительного движения , ( - в сантиметрах, - в секундах). Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в момент времени .

Решение:

1. Сложное движение точки складывается из относительного движения по ободу диска по закону и переносного вращательного движения с диском относительно оси .

2. Положение точки в заданный момент времени определяется дуговой координатой : .