ВВЕДЕНИЕ 6 страница

, откуда ,

что соответствует частоте вращения:

.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В МЕХАНИЗМАХ.

Пример №8.

Механизм состоит из ступенчатых колес и , связанных ременной передачей, колеса и находятся в зацеплении, колесо находится в зацеплении с зубчатой рейкой , груз находится на конце нити, намотанной на шкив радиуса (рис. 82). Опреде­лить скорости точек и , ускорение груза , ускорение точ­ки и угловое ускорение колеса в момент времени , если задан закон движения рейки и размеры колес:

, , , ,

, .

Решение:

1. Рейка совершает поступательное движение по закону . Определим скорость движения рейки:

. При , .

Ускорение рейки: .

Знак минус указывает, что рейка движется замедленно.

2. Точка , лежащая на ободе колеса , движется со скоростью, равной скорости рейки, находящейся в зацеплении с колесом, т.е.

.

Учитывая, что , можно выразить угловую скорость колеса :

.

Угловое ускорение колеса :

.

Колеса радиусов и находятся на одном валу. Определим ускорение точки :

,

где , ,

3. Колеса радиусов и связаны бесконечным ремнем, поэтому скорости всех точек ремня одинаковы, т.е. , угловые скорости и угловые ускорения валов и обратно пропорциональны

размерам колес:

; ;

; .

Скорость точки , лежащей на ободе колеса :

.

4. Колеса радиусов и находятся в жестком зацеплении друг с другом, поэтому

; ;

; .

Скорость точки , лежащей на ободе колеса радиуса :

.

5. Ускорение груза равно касательному ускорению точки :

.

Для заданного момента времени :

;

;

;

;

.

2.8. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Плоскопараллельным (или просто плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных какой-то неподвижной плоскости. Плоское движение совершают многие звенья механизмов и машин, катящееся колесо.

Частным случаем такого движения является вра­щение тела вокруг неподвижной оси. Все звенья кривошипно-ползунного механизма (рис.83), состоящего из кривошипа , ползуна и шарнирно соединенного с ним шатуна , совершают плоское движе­ние, так как все звенья движутся параллельно некоторой неподвижной плоскости (плоскости чертежа). Одновременно движение кривошипа является вращательным, движение ползуна - поступательным. Все точки колеса (рис. 84) движутся в плоскостях, параллельных неподвижной вертикальной плоскости. При движении по закруглению движение колеса не будет плоским.

Плоскопараллельное движение твердого тела является состав­ным, оно складывается из поступательного движения вместе с ка­кой-либо точкой, принятой за полюс, и вращения вокруг оси, про­ходящей через эту точку (рис.85). Поэтому плоское движение твердого тела описывается тремя уравнениями:

(2.31)

За полюс обычно принимают точку, скорость которой известна или ее легко можно вычислить. Например, движение колеса (рис.87) складывается из поступательного движения вместе с полюсом-центром колеса и вращения с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через полюс. Скорость любой точки тела, совершающего плоское движение, равна геометрической сумме скорости полоса и скорости точки в ее вращении вместе с телом вокруг оси, проходящей через полюс (рис.86):

, (2.32)

где ,

- угловая скорость звена.

Вектор скорости во вращательном движении направлен перпендику­лярно к отрезку .

Скорость точки колеса (рис.87) складывается из скорости полюса-центра ко­леса и скорости во вращении точки вместе с колесом относительно оси .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА

МЕТОДОМ ПОЛЮСА.

Пример №9.

Для заданного положения шарнирного четырехзвенника (рис.88) определить скорость точки и угловую скорость звена , если кривошип вращается с постоянной угловой ско­ростью , , .

Решение:

1. Определим скорость точки , принадлежащей кривошипу :

.

2. Определим скорость точки , принимая за полюс точку :

, , (1)

где - угловая скорость звена .

Спроецируем векторное равенство (1) на оси и , направляя ось вдоль звена .

На ось : ;

;

На ось : ;

.

Проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

(2.33)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА ПО ТЕОРЕМЕ

О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ ДВУХ ТОЧЕК ТЕЛА.

Пример №10.

Стержень в точке шарнирно связан со стержнем , который в точке скользит по наклонной плоскости (рис.90). Определить скорость точки стержня в положении, когда и скорость стержня равна .

Решение:

1. Стержень совершает поступательное движение, следовательно, скорость точки равна скорости .

2. Скорость точки направлена вдоль плоскости, наклоненной к горизонту под углом . Применим теорему о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки:

, откуда

При определении скоростей точек тела за полюс можно принять точку , скорость которой равна . Такую точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В этом случае скорость любой точки тела будет равна:

(2.34)

где .

Следовательно, скорость любой точки тела пропорциональна рас­стоянию этой точки до МЦС (рис.91):

;

,

т.е. для всех точек тела соблюдается соотношение:

. (2.35)

При определении положения мгновенного центра скоростей (МЦС) возможны следующие случаи:

1. Положение МЦС заранее известно (рис.92).

Если колесо обкатывает­ся по неподвижному коле­су , то МЦС - точка находится в точке каса­ния этих колес.

Скорость точки , при­надлежащей кривошипу :

.

Угловая скорость колеса :

.

Скорость точки пропорциональна расстоянию :

.

Вектор скорости точки направлен перепендикулярно отрезку .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ

МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ.

Пример №11.

Определить скорости точек и ступенчатого колеса, имеющего размеры , (рис.93), если скорость центра колеса .

Решение:

Мгновенный центр ступенчатого ко­леса находится в точке , где колесо касается неподвижной по­верхности. Для скоростей точек колеса можно составить соотноше­ние:

Угловая скорость колеса:

.

2. Если известны по направлению скорости двух точек тела и мо­дуль скорости одной точки, то МЦС находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей этих точек. Если для кривошипно-ползунного механизма (рис.94) задана угловая скорость ведущего звена, то скорость точки можно определить по формуле:

.

Вектор скорости точки направлен перпендикулярно звену . Ползун движется поступательно в горизонтальных на­правляющих, т.е. направление скорости точки известно. МЦС звена находится на пересечении перпендикуляров и , проведенных к векторам скоростей и .

Для определения скорости точки и угловой ско­рости шатуна можно составить соотношение:

.

Пример №12.

Конец стержня скользит со скоростью по наклонной плоскости. Другой конец шарнирно связан с роли­ком, который катится без скольжения (рис.95). Определить ско­рость центра ролика и угловую скорость ролика, если угол .

Решение:

Мгновенный центр скоростей ролика находится в точке , где ролик касается неподвижной поверхности. Векторы и скоростей точек и направлены перпендику­лярно линии .

Скорость точки определим с по­мощью мгновенного центра скоростей звена , который находится в точке на пересечении перпен­дикуляров, проведенных к векторам скоростей и . Скорос­ти и пропорциональны расстояниям соответствующих точек до МЦС:

.

Так как - равносторонний, ,

.

Скорости точек и ролика с его угловой скоростью связаны соотношением:

,

где - угловая скорость ролика;

;

.

3. Если скорости точек и тела параллельны между собой, а линия не перпендикулярна вектору (рис.96), то мгновенный центр скоростей звена будет находиться в бесконечности. Так как , , угловая скорость звена будет равна нулю, что видно из соотношения:

.

Шатун при повороте ведущего звена на совершает мгновенно поступательно движение. Для такого движения скорости всех точек звена равны между собой: