ВВЕДЕНИЕ 3 страница. 2) изобразить заданные силы, действующие на систему тел

1) выделить составную конструкцию, равновесие которой рассматривается;

2) изобразить заданные силы, действующие на систему тел;

3) отбросить внешние связи, заменив их реакциями;

4) выбрать систему координат;

5} определить пути решения задачи: рассматривать равновесие каждой части конструкции в отдельности или равновесие системы в целом и одной из частей конструкции; прежде всего следует рассматривать те части составной конструкции, для которых из составленных уравнений равновесия можно опреде­лить искомые величины;

6) решить составленную систему уравнений равновесия относи­тельно неизвестных величин;

7) проверить правильность решения, составляя неиспользованные в расчете уравнений равновесия для всей, конструкции.

Пример №7.

Определить нагрузку на каждую из пяти (А, В, С, D, E) осей автотягача с седельным полуприцепом (рис.43).

Решение:

Автотягач состоит из трех частей: шасси весом , полуприцепа весом и кузова весом . Рассмотрим равновесие одной части конструкции – шасси (рис. 43,б). Действие отброшенной части заменим реакцией связи . Реакциями внешних связей для шасси являются и . Для нахождения реакции составим сумму моментов относительно точки :

(1)

Откуда (2)

Рассматривая равновесие составной конструкции (рис. 43,а), найдем реакции остальных внешних связей и :

(2)

Откуда с учетом (2) выразим:

(3)

(4)

откуда с учетом (3) выразим:

(4)

Учитывая симметричный характер нагрузки на оси (рис.43,в), определим реакции:

Пример №8.

Определить реакции внешних и внутренних связей конструкции, состоящей из жесткого угольника и стержня (рис.44), соединенных шарнирно в точке С. На составную конструкцию действуют силы и , равномерно распределенная нагрузка интенсивностью , пара сил с моментом

Решение:

Внешними связями, наложенными на конструкцию, является жесткая заделка в точке А и свободное опирание на гладкую поверхность в точке В. Внутренней связью является шарнирно С, с помощью которого соединены между собой части конструкции в отдельности, начиная расчет с равновесия стержня, у которого неизвестны три реакции связей , и . Действие равномерно распределенной нагрузки интенсивностью заменим сосредоточенной силой :

Выбираем систему координат и составляем три уравнения равновесия для стержня ВС:

(1)

(2)

(3)

из (1):

из (2):

из (3):

Действительное направление реакции противоположно показанному на чертеже. Рассматриваем равновесие левой части конструкции. Составляющие реакции внутренней связи и направлены в стороны, противоположные направлениям составляющих и .

Составим три уравнения равновесия для левой части конструкции:

(4)

(5)

(6)

из (4):

из (5):

из (6):

Для проверки составим уравнения равновесия для системы в целом:

1.18.ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ.

Условие равновесия пространственной системы сходящихся сил определяется тремя уравнениями:

; ; . (18.1)

Пример №9. Определить усилия в шести стержнях, соединенных своими концами шарнирно друг с другом и с неподвижными опорами. В узлах К и М приложены силы и , составляющие с положительным направлением координатных осей углы, равные соответственно , , для силы и , , для силы . Взаимное расположение стержней в конструкции определяется углами и (рис.45).

Решение:

Так как для системы сходящихся сил можно составить три уравнения равновесия, расчет начинаем с узла К, в котором сходятся стержни 1,2,3. Предполагаем все стержни растянутыми. Растягивающие усилия в стержнях , и направлены от узла К. Составим три уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

из (1):

из (2):

из (3):

Рассмотрим равновесие узла . Усилия и равны по модулю и противоположны по направлению. Усилие составляет с плоскостью угол . Для нахождения проекции усилия на координатные оси, необходимо предварительно найти проекцию на плоскость , а затем составляющие этой проекции на каждой из координатных осей. Составим три уравнения равновесия для системы сходящихся сил, приложенных к узлу :

(4)

(5)

(6)

из (6):

из (4):

из (5):

Знаки показывают, что стержни 1,3,4 – сжаты, а 2,5,6 – растянуты.

1.19. РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно соблюдения следующих условий:

; ;

; ; . (19.1)

Следовательно, число неизвестных не должно превышать числа возможных уравнений равновесия. В некоторых случаях число возможных уравнений равновесия может быть уменьшено. Так, если все силы, приложенные к твердому телу, лежат в плоскости , то уравнения проекций этих сил на ось обращаются в тождество, и число уравнений равновесия сокращается до пяти.

Пример №10.

Однородная прямоугольная плита весом со сторонами и закреплена в точке сферическим шарниром, в точке цилиндрическим шарниром и удерживается в равновесии невесомым стержнем (рис.46). На плиту действует пара сил с моментом и силы и . Сила лежит в плоскости и составляет с осью угол , сила лежит в плоскости и составляет с осью угол .

Определить реакции связей при , , .

Решение:

На плиту действуют активные силы , , , пара сил с моментом , а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие , , , цилиндрического шарнира (подшипника) – на две составляющие и , реакцию невесомого стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут. Для определения шести неизвестных реакций связей составим шесть уравнений равновесия действующих на плиту сил:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)
(6)

Для определения момента силы относительно координатных осей, раскладываем силу на две составляющие и , численно равные проекциям этой силы на оси Z и X соответственно: , .

Решая систему уравнений (1)-(6), находим искомые величины:

из (5):

из (6):

из (1):

из (2):

из (4):

из (3):

Для проверки можно составить уравнение моментов относительно оси , проведенной через точку :

Реакции связей, значения которых получены отрицательными, имеют направления, противоположное показанному на чертеже.

Пример №11.

На косозубое колесо вала редуктора диаметром действует осевая сила , радиальная и неизвестное окружное усилие . На прямозубое колесо диаметром , закрепленное на том же валу, действует радиальная сила (рис. 47).

Определить реакции подшипников при следующих размерах: ; ; .

Решение:

Опорой горизонтального вала в точке является радиальный подшипник, его реакцию раскладываем на две составляющие и . В точке - радиально-упорный подшипник. Его реакцию раскладываем на три составляющие , , . Шестой неизвестной величиной является окружное усилие . Составим для вала шесть уравнений равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Решая систему уравнений (1)-(6), находим неизвестные величины:

из (2):

из (5):

из (6):

из (1):

из (4):

из (3):

1.20. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Центром тяжести твердого тела называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве. Силы тяжести отдельных частиц тела образуют систему параллельных сил. Координаты центра тяжести как центра параллельных сил можно определить по формулам:

; ; ; (20.1)

где , , - координаты точек приложенных сил тяжести частиц тела.

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от геометрической формы тела. Координаты центра тяжести пластины определятся формулами:

; , (20.2)

где - площадь всей пластины;

- площадь части пластины.

Аналогично можно выразить координаты центра тяжести линии:

; ; , (20.3)

где - длина всей линии;

- длина участка линии.

При определении координат центра тяжести тела плоской формы, тело разбивают на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно и используют формулы (20.2) или (20.3). Например, координаты центра тяжести пластины, изображенной на рис.48, можно определить двумя способами:

1. Разбить пластину на прямоугольники , и вырез . Тогда

;

;

где , , - площади частей пластины и выреза.