ВВЕДЕНИЕ 9 страница. Дуге соответствует центральный угол

.

Дуге соответствует центральный угол:

.

По условию задачи задано положительное направление отсчета относительной координаты . Так как дуговая координата и соответствующий ей угол получены с отрицательными знаками, откладываем угол в отрицательном направлении.

3. Выразим абсолютную скорость точки:

, (1)

где ,

.

Так как -равносторонний, .

В заданный момент времени:

,

.

Вектор относительной скорости направлен в соответствии с полученным знаком. Значение абсолютной скорости точки определим по проекциям на координатные оси:

;

;

.

4. Абсолютное ускорение точки определим по теореме Кориолиса:

. (2)

Так как в переносном и относительном движении точка движется неравномерно по криволинейным траекториям, уравнение (2) примет вид:

(3)

Вычислим слагаемые абсолютного ускорения:

,

.

Совпадение знаков относительной скорости и касательной составляющей относительного ускорения показывает, что относительное движение точки является ускоренным.

,

.

Так как диск вращается с постоянной угловой скоростью, то .

Ускорение Кориолиса:

.

Модуль абсолютного ускорения определим, проецируя векторное равенство (3) на координатные оси:

;

;

.

Пример №24.

Рабочее колесо компрессора с прямолинейными каналами (рис.116) равномерно вращается с угловой скоростью вокруг оси , перпендикулярной плоскости чертежа. Воздух течет по каналам с постоянной относительной скоростью . Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение для частицы воздуха, находящейся в точке канала , наклоненного под углом , если .

Решение:

1. Определим абсолютную скорость точки по теореме о сложении скоростей:

, (1)

где - относительная скорость движения частицы воздуха по каналу ;

- переносная скорость, т.е. скорость точки канала , в которой в данный момент времени находится частица воздуха.

.

Модуль абсолютной скорости определим, проецируя векторное равенство (1) на координатные оси:

,

,

.

2. Определим абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса:

(2)

Относительное ускорение , так как по условию задачи частица воздуха движется по каналу с постоянной скоростью:

.

Ускорение Кориолиса:

.

Спроецируем векторное равенство (2) на координатные оси:

,

,

.

Пример №25.

Кулисный механизм состоит из двух параллельных валов и , кривошипа и кулисы (рис.117). Кривошип вращается равномерно вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Камень перемещается вдоль прорези кулисы . Найти угловую скорость и угловое ускорение кулисы в момент времени, когда угол поворота кривошипа , если расстояние между осями валов .

Решение:

1. Абсолютным движение точки является вращение вместе с кривошипом вокруг оси с угловой скоростью :

.

Вектор абсолютной скорости можно разложить на две составляющие: вектор относительной скорости точки вдоль прорези кулисы и вектор переносной скорости вращения кулисы вокруг оси , тогда:

, .

Так как равнобедренный, , т.е.

,

.

Так как переносным движением для точки является вращение кулисы вокруг оси , а величина переносной скорости определена, можно найти угловую скорость кулисы:

.

2. Определим абсолютное ускорение точки:

.

Выразим абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса:

, (1)

где ,

; (2)

- угловое ускорение кулисы.

Вычислим ускорение Кориолиса:

.

Для нахождения углового ускорения кулисы спроецируем векторное равенство (1) на ось :

;

.

Учитывая соотношение (2), найдем угловой ускорение кулисы:

.

т.е кулиса вращается с постоянной угловой скоростью .

Пример №26.

По радиусу диска (рис.118), вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью в направлении от центра диска к ободу по закону , движется точка . Радиус составляет с осью вращения угол . Определить величину абсолютного ускорения точки в момент .

Решение:

1. Абсолютное ускорение точки можно определить по теореме Кориолиса:

(1)

Зная закон относительного движения, можно найти относительное ускорение точки:

;

.

В переносном движении точка движется по окружности радиуса , поэтому:

;

;

.

Ускорение Кориолиса:

.

Направление вектора ускорения Кориолиса определим по правилу Жуковского: перенесем в точку вектор угловой скорости переносного вращательного движения, спроецируем вектор на горизонтальную плоскость, перпендикулярную вектору , и повернем проекцию на в сторону вращения, т.е. вектор направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси .

Для заданного момента времени :

;

;

.

Вычислим абсолютное ускорение точки по проекциям на координатные оси:

;

;

;

;

.

2.10. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.

Всякое элементарное перемещение тела, имеющего неподвижную точку (рис.119), представляет собой элементарный поворот вокруг некоторой мгновенной оси вращения , проходящей черев эту точку.

Скорости всех точек, лежащих на мгновенной оси вращения, равны нулю. Положение мгновенной оси вращения в пространстве и в самом теле постоянно изменяется.

Вектор мгновенной угловой скорости направлен вдоль мгно­венной оси вращения. Со временем вектор мгновенной угловой ско­рости изменяется как по величи­не, так и по направлению (рис.120). Мгновенное угловое ускорение определяет изменение угловой скорости по величине и направлении:

(2.53)

Вектор мгновенного углового ускорения направлен по касательной к кривой , являющейся годог­рафом вектора мгновенной угловой скорости.

Скорость любой точки тела пропорциональна расстоянию этой точки до мгновенной оси вращения (рис.121) :

, (2.54)

где - мгновенная скорость колеса;

- радиус-вектор, определяющий положение точки относительно неподвижной точки .

Ускорение точ5ки состоит из вращательной и осестремительной составляющих:

, (2.55)

, , (2.56)

где - расстояние от точки до вектора ;

- расстояние от точки до мгновенной оси вращения (рис.122).

Вектор осестремительного ускорения направлен перпендикулярно мгновенной оси вращения. Вектор вращательного ускорения направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и вектор .

Пример №27.

Найти скорости точек и конического катка (бегуна), катящегося без скольжения по горизонтальной конической опоре, если точка лежит на окружности радиуса , расстояние . Скорость движения центра катка по его траек­тории постоянна и равна (рис.123).

Решение:

1. Мгновенная ось вращения проходит через две неподвиж­ные точки и . Сферическое движение катка можно рассмат­ривать как вращение вокруг мгновенной оси . Скорость лю­бой точки тела при таком движении пропорциональна расстоянию до мгновенной оси вращения. Так как скорость точки известна, можно определить

мгновенную угловую скорость:

,

где ; .

2. Определим угловую скорость собственного вращения катка , которая является угловой скоростью относительного движения:

.

Каток участвует в переносном вращательном движении вокруг оси с угловой скоростью .

Определим скорость точки :

;

.

Скорость точки равна нулю, так как точка находится на мгновенной оси вращения.

3.Ускорение точки состоит из вращательной и осестремительной составляющих:

(1)

где .

Вектор направлен перпендикулярно мгновенной оси вращения по отрезку, составляющему .

2.11. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО

ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы и может перемещаться как угодно в пространстве по отношению к некоторой

неподвижной системе отсчета.

Любое элементарное пе­ремещение свободного твердого тела слагается из элементар­ного поступательного перемещения вместе с полюсом и элементарного поворота вокруг мгновенной оси вращения , проходящей через этот полюс (рис.124). Любая точка тела участвует в сложном движении: относительном вращательном движении вместе с телом вокруг по­люса и в переносном поступательном движении вместе с полюсом . Скорость точки определяется геометрической суммой (рис.125):

, (2.57)

,

,

где - расстояние до мгновенной оси вращения;

Ускорение точки также определяется геометрической суммой:

, (2.58)

Где ,

.

2.12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Движение тела называется сложным, если тело движется от-нисительно подвижной системы отсчета, которая, в свою очередь, совершает переносное движение по отношению к неподвижной системе отсчета.

При сложении двух поступательных движений результирующее движение тела так же является поступательным со ско­ростью, равной геометрической сумме скорос­тей составляющих движений:

(2.59)

Тележка крана (рис. 126) движется поступательно со скоростью относительно подвижной системы отсчета . Подвижная система отсчета жестко связана с фермой крана, которая со скоростью совершает поступательное движение относительно неподвижной системы отсчета . Результирующее движение тележки также является поступательным со скоростью .

При сложении двух вращательных движений вокруг вертикаль­ных осей возможны три частных случая:

1. Вращения направлены в одну сторону. Если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вок­руг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью, равной сум­ме угловых скоростей составляющих вращений, вокруг мгновенной оси, параллельной осям составляющих вращений.

Колесо 2 (рис.127) об­катывается по неподвиж­ному колесу вследст­вие вращения кривошипа с угловой скоростью вокруг оси . Одновременно колесо вращается вокруг соб­ственной оси с угловой скоростью . Нап­равления двух вращений совпадают. Результирую­щим движением для колеса является вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр скоростей - точку , с угловой скоростью: