ВВЕДЕНИЕ 7 страница. Для заданного положения механизма (рис. 97) определить скорость ползуна , угловую скорость звена

, .

Пример №13.

Для заданного положения механизма (рис. 97) определить скорость ползуна , угловую скорость звена , если кривошип размером вращается с угловой скоростью =1с^-1, , длина звена , .

Решение.

1. Определяем скорость точки , принадлежащей кривошипу : м/с. Вектор скорости точки направлен перпендикулярно звену . Ползун движется в горизонтальных направляющих. Векторы и скоростей точек и параллельны между собой. Мгновенный центр скоростей звена находится в бесконечности, что следует из соотношения:

,

где , , .

2.Следовательно, звено совершает мгновенное поступательное движение. Все точки звена движутся с одинаковыми по модулю и направлению скоростями, т.е.

м/с.

3. Ползун движется в вертикальных направляющих. Мгновенный центр скоростей звена лежит в точке . Для звена соблюдаются следующие соотношения:

.

Так как - равнобедренный, , скорости точек и равны между собой:

;

угловая скорость звена : .

4. Если скорости точек и тела параллельны между собой и при этом линия перпендикулярна вектору , то МЦС звена определяется геометрическим построением (рис. 98,а, б).

Численные значения скоростей точек и должны быть известны. Положение МЦС определяются из соотношения:

Пример №14.

Дифференциальный ворот состоит из двух валов и с радиусами и , где .

На оба вала намотана одна нить, на которой находится подвижный блок радиуса с подвешенным к нему грузом (рис. 99). Определить скорость груза, угловую скорость подвижного блока, если валам рукоятки сообщена угловая скорость .

Решение:

1. Принимая, что нить наматывается без проскальзывания, выразим скорости точек и через угловую скорость барабана и его размеры:

; .

Подвижный блок совершает плоскопараллельное движение. Скорости двух точек блока и параллельны и направлены в противоположные стороны. Мгновенный центр скоростей блока – точку , найдем построением. Положение точки определим из соотношения:

.

Из свойства пропорции получим:

;

, откуда

.

Угловая скорость подвижного блока:

.

Скорость груза равна скорости центра блока, которая пропорциональна расстоянию точки до мгновенного центра скоростей блока:

;

.

.

Пример №15.

Для заданного положения механизма (рис. 100) определить скорости точек , , , угловые скорости всех его звеньев, если , , , .

Решение:

Зная угловую скорость кривошипа , найдем скорость точки :

Для колеса мгновенный центр скоростей находится в точке касания с неподвижным колесом 1. Угловая скорость колеса :

.

Скорость точки , принадлежащей колесу , пропорциональна расстоянию :

Найдем скорость точки , принадлежащей кривошипу :

Скорости точек и колеса 3 известны по модулю и направлению. Мгновенный центр скоростей колеса 3 находится в точке Р₃. Положение точки Р₃ найдем из соотношений

;

;

;

;

.

Пример №16.

Кривошип (рис. 101) вращается с угловой скоростью . Колесо , соединенное с кривошипом в точке , обкатывается по колесу , вращающемуся с угловой скоростью . Определить угловую скорость колеса и скорость точки , если , .

Решение:

1. Найдем скорость точки , принадлежащей кривошипу : .

2. Определим скорость точки , принадлежащей колесу 1, вращающемуся с угловой скоростью : .

3. Для колеса , совершающего плоское движение, известны скорости точек и . Мгновенный центр скоростей колеса -точку найдем построением. Угловую скорость колеса определим из соотношения:

.

Для определения положения мгновенного центра скоростей используем свойство пропорции:

;

.

Скорость точки пропорциональна расстоянию до МЦС: ;

.

Вектор скорости точки направлен перпендикулярно отрезку в сторону угловой скорости .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ.

Ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения точки, принятой за полюс, и ускорение точки в ее вращении вместе с телом вокруг оси, проходящей через полюс (рис. 102),

. (2.36)

Вектор направлен под углом к отрезку АВ, где

. (2.37)

Так как значение угла неизвестно, предварительно вектор раскладывают на нормальную и касательную составляющие:

, (2.38)

где , . (2.39)

Вектор направлен всегда вдоль прямой к полюсу , вектор направлен перпендикулярно отрезку в сторону вращения, если оно ускоренное (рис. 103,а) или против вращения, если оно замедленное (рис. 103, б).

Пример №17.

Для механизма, изображенного на рис. 104, определить ускорение ползуна и точки , если колесо радиуса катится с постоянной скоростью его центра , угол , .

Решение:

1. Колесо катится по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью его центра, т.е. .

Выразим ускорение точки , принимая за полюс точку , (1)

где , ;

и - соответственно угловая скорость и угловое ускорение колеса.

Так как центр колеса движется с постоянной скоростью, то , . Следовательно,

.

Угловую скорость колеса найдем, принимая во внимание, что мгновенный центр колеса находится в точке касания его с неподвижной поверхностью. Тогда

;

.

2. Определим ускорение точки , принимая за полюс точку :

. (2) В векторном равенстве (2) для вектора ускорение точки известно направление, так как ползун движется в горизонтальных направляющих. Предполагаем, что вектор направлен по горизонтали вправо. Вектор ускорения точки (полюса) известен по модулю и направлению. Определим нормальную составляющую ускорения звена во вращательном движении вокруг полюса: ,

где - угловая скорость звена .

Так как векторы скоростей и точек и звена параллельны между собой (рис. 104), мгновенный центр скоростей звена находится в бесконечности, т.е. звено совершает мгновенно поступательное движение. Следовательно,

, .

Выразим касательную составляющую ускорения:

.

Численное значение углового ускорения звена неизвестно. Вектор направлен перпендикулярно составляющей .

В векторном равенстве (2) неизвестны численные значения ускорений , .

Для их нахождения спроецируем (2) на две взаимно перпендикулярные оси координат и , направляя ось вдоль звена :

на ось : ; (3)

на ось у: . (4)

Из уравнения (3) с учетом того, что , получим .

Из уравнения (4) определим составляющую :

Угловое ускорение звена :

.

3. Выразим ускорение точки , принимая за полюс точку . . (5)

Определим предварительно величину составляющих , :

,

так как ;

Так как ускорение точки неизвестно ни по модулю, ни по направлению, определим его по проекциям на координатные оси. Для этого необходимо спроецировать векторное уравнение (5) на координатные оси.

;

;

.

Пример №18.

Колесо радиуса катится без скольжения по горизонтальной поверхности (рис. 105), имея в данный момент времени скорость центра V_A=1м/с и ускорение а_А=2м/с². Определить скорость и ускорение точки В.

Решение:

1. Выразим ускорение точки , принимая за полюс точку :

. (1)

Так как направление вектора ускорения точки неизвестно, необходимо определить численные значения всех слагаемых правой части векторного уравнения (1).

Выразим касательную и нормальную составляющие ускорения :

; ,

где , - соответственно угловая скорость и угловое ускорение колеса.

Угловую скорость колеса определим, зная скорость точки и положение мгновенного центра скоростей колеса – точки : .

Угловое ускорение колеса определим как производную по времени от угловой скорости колеса: ;

;