Цикл Карно и его к. п. д. для идеального газа

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго вода – периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, – невозможен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя.

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис.12.2.

От термостата с более высокой температурой T₁ называемого нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q ₁, а термостату с более низкой температурой T ₂, называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q ₂, при этом совершается работа

А=Q ₁ –Q ₂.

Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигателя (12.2) был η =1, необходимо выполнение условия Q ₂=0, т. е. тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Так, французский физик и инженер Карно показал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теплоты с различными температурами, иначе это противоречит второму началу термодинамики.

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине, принцип действия которой представлен на рис.12.3. Системой за цикл от термостата с более низкой температурой Т ₂отнимается количество теплоты Q ₂ и отдается термостату с более высокой температурой Т ₁ количество теплоты Q ₁. Для кругового процесса Q=A, но, по условию, Q=Q ₂ =Q ₁<0, поэтому А <0 и Q ₂ -Q ₁ = -А, или Q ₁ =Q ₂ +A, т. е. количество теплоты Q ₁, отданное системой источнику теплоты при более ысокой температуре T ₁ больше количества теплоты Q ₂, полученного от источника теплоты при более низкой температуре Т₂, на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Основываясь на втором начале термодинамики, Карно вывел теорему: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (Т ₁) и холодильников (Т ₂) наибольшим к. п. д. обладают обратимые машины; при этом к. п. д. обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей (Т ₁) и холодильников (Т ₂), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела, совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими телами), а определяются только температурами нагревателя и холодильника.

Цикл Карно – наиболее экономичный цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ,заключенный в сосуд с подвижным поршнем.

Цикл Карно изображен на рис.12.4, где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 1–2 и 3–4, а адиабатические расширение и сжатие – кривыми 2–3 и 4–1.

При изотермическом процессе U = const, поэтому количество теплоты Q₁ полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А ₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

A ₁₂ = νRT ₁ = Q ₁. (12.13)

При адиабатическом расширении 2—3 теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения A ₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии

A ₂₃ =–νC_V (T ₂ -T ₁).

Количество теплоты Q ₂, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия A ₃₄:

A ₃₄= νRT ₂ =– Q ₂. (12.14)

Работа адиабатического сжатия

A ₄₁ =–νC_V (T ₁ –T ₂) =–A ₂₃.

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

A=A ₁₂ + A ₂₃ + A ₃₄ + A ₄₁ =Q ₁ + A₂₃– Q ₂ – A ₂₃ = Q ₁ – Q ₂

определяется площадью, заштрихованной на рис.12.4.

Термический к. п. д. (12.2) для цикла Карно равен:

η = A/Q ₁ = (Q ₁ –Q ₂) /Q ₁.

Применив уравнение Пуассона (11.28) для адиабат 2–3 и 4–1, получим

T ₁ = T ₂ , .

Откуда

V ₂ /V ₁ = V ₃ /V ₄. (12.15)

Подставляя (12.13) и (12.14) в формулу (12.2) и учитывая (12.15), получаем

η = , (12.16)

т. е. для цикла Карно к. п. д. действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при Т ₁=400 К и Т ₂=300 К η =0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холодильника понизить на 50 К, то η =0,5. К. п. д. всякого реального теплового двигателя из-за трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.

Обратный цикл Карно положен в основу действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть – получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.

Теорема Карно послужила основанием для установления термодинамической шкалы температур. Сравнив левую и правую части формулы (12.16), получим

Τ ₂ /T ₁ =Q ₂ /Q ₁,(12.17)