Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

Среди равновесных процессов, происходящих с термодинамическими системами, выделяются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.

– Изохорный процесс (V = const). Диаграмма этого процесса (изохора) в координатах р, V изображается прямой, параллельной оси ординат (рис.11.5), где процесс 1-2есть изохорное нагревание, а 1-3— изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.

δА = pdV = 0.

Из первого начала термодинамикидля изохорного процесса следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии: δQ=dU.

Согласно формуле (11.12),

dU_m=C_VdT.

Тогда для произвольной массы газа получим

dQ=dU= C_VdT. (11.18)

– Изобарный процесс (р= const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах р, V изображается прямой, параллельной оси V. При изобарном процессе работа газа при увеличении объема от V ₁ до V ₂равна

Рис.11.5 Рис.11.6

A= (11.19 )

и определяется площадью заштрихованного прямоугольника (рис.11.7).

Если использовать уравнение Клапейрона — Менделеева для выбранных нами двух состояний, то

pV ₁ =νRT ₁, pV ₂ =νRT ₂,

откуда

V ₂ –V ₁= ν (T ₂ –T ₁).

Тогда выражение для работы изобарного расширения примет вид

A=νR (Т ₂ -Т ₁). (11.20)

Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если (Т ₂ –Т ₁) = 1 К, то для 1 моль газа R=A,т. е. R численно равна работе изобарного расширения 1 моля идеального газа при нагревании его на 1 К.

В изобарном процессе при сообщении газу массой т количества теплоты

dQ= C_pdT,

его внутренняя энергия возрастает на величину

dU= C_VdT.

При этом газ совершит работу, определяемую выражением (11.20).

– Изотермический процесс (Т= const). Как уже указывалось, изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта:

pV= const.

Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах р, V представляет собой гиперболу. Найдем работу изотермического расширения газа:

.

Так как при T =const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:

dU= C_VdT= 0,

то из первого начала термодинамики (δQ=dU+δΑ)следует, что для изотермического процесса

δQ=δΑ,

т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:

Q = . (4.15)

Следовательно, для того чтобы при расширении газа температура не понижалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.

– Адиабатический процесс.

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (δQ =0) между системой и окружающей средой.

К адиабатическим процессам можно отнести все быстропротекающие процессы. Например, адиабатическим процессом можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуковой волны настолько велика, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает. Адиабатические процессы применяются в двигателях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д. Из первого начала термодинамики для адиабатического процесса следует, что

δQ= – dU,(11.24)

т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Используя выражения (4.4) и (4.8), для произвольной массы газа перепишем уравнение в виде

pdV=–νC_VdT. (11.25)

Продифференцировав уравнение состояния для идеального газа pV=ν RT, получим

pdV + Vdp = νRdT. (11.26)

Исключим температуру Т

.

Разделив переменные и учитывая, что Ср/С_V =γ, найдем

dp/p= – γdV/V.

Интегрируя это уравнение в пределах от р ₁до p ₂ соответственно от V ₁до V ₂а затем потенцируя, придем к выражению

p ₂ /p ₁ = (V ₁ /V ₂) ^γ,

или p ₁ =p ₂ .

Так как состояния 1 и 2выбраны произвольно, то можно записать

pV^γ= const. (11.27)

Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным Т, V p,Т исключим из (11.27) с помощью уравнения Клапейрона — Менделеева (7.9) соответственно давление или объем:

TV ^{γ– 1} = const, (11.28)

T^γp ^{1 –γ} = const. (11.29)

Выражения (11.27) – (11.29) представляют собой уравнения адиабатического процесса. В этих уравнениях безразмерная величина

γ =C_p/C_V= (i +2)/ i, (11.30)

называется показателем адиабаты. Для одноатомных газов (Ne, Не и др.), достаточно хорошо удовлетворяющих условию идеальности, i =3, γ = 1,67. Для двухатомных газов (Н₂, N₂, О₂ и др.) i =5, γ= 1,4. Значения γ, вычисленные по формуле (11.30), хорошо подтверждаются экспериментом.

Диаграмма адиабатического процесса (адиабата) в координатах p, V изображается гиперболой (рис.11.7).

На рисунке видно, что адиабата (pV^γ =const) более крута, чем изотерма (pV =const). Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии 1—3увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры.

Вычислим работу, совершаемую газом в

Рис.11.7. адиабатическом процессе. Запишем уравнение (11.25) в виде

δА=–νC_VdT.

Если газ адиабатически расширяется от объема V ₁до V ₂,то его температура уменьшается от Τ ₁до Т ₂и работа расширения идеального газа

A= . (11.31)

Применяя те же приемы, что и при выводе формулы (11.27), выражение (11.31) для работы при адиабатическом расширении можно преобразовать к виду

A = . (11.32)

Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении 1 – 2 (определяется площадью, заштрихованной на рис.11.7, меньше, чем при изотермическом. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом – температура поддерживается постоянной за счет притока извне эквивалентного количества теплоты.

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процессы имеют общую особенность – они происходят при постоянной теплоемкости.