Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматрива­ется аналогия между ними, только во вра­щательном движении вместо силы «вы­ступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества дви­жения) материальной точки А относитель­но неподвижной точки О называется физи­ческая величина, определяемая векторным произведением:

, (4.13)

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; — импульс материальной точки (рис.4.10); - псевдо­вектор, его направление совпадает с на­правлением поступательного движения правого винта при его вращении от к . Модуль вектора момента импульса

L = rp sin ά = mvr sin ά = pl,

где ά - угол между векторами и , l - плечо вектора относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О дан­ной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого те­ла вокруг неподвижной оси z каждая от­дельная точка тела движется по окружно­сти постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью _.

Скорость и импульс m_i перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра­диус является плечом вектора m_i . Поэто­му можем записать, что момент импульса отдельной частицы

L_iz = mυ_ir_i, (4.14)

и направлен по оси в сторону, определяе­мую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела отно­сительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

. (4.15)

Используя формулу υ_i = ωr_i получим

, (4.16)

т. е.

L_z = I_z ω. (4.17)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (4.17) по времени:

,

или

. (4.18)

Это выражение - основное урав­нение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная по времени момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место век­торное равенство

. (4.19)

В замкнутой системе момент внешних сил = 0 и , откуда

= const. (4.20)

Выражение (4.20) представляет собой закон сохранения момента импульса: мо­мент импульса замкнутой системы сохра­няется, т. е. не изменяется с течением времени.